Уравнения в полных дифференциалах

Первого порядка

Численные решения дифференциальных уравнений

ЛЕКЦИЯ 24. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения Бернулли

Дифференциальные уравненияпервого порядка

Их общих, частных решений. Обыкновенные

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 22. Понятие обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении задач физики и математики возникает необходимость составление уравнений, которые связывают не только независимые переменные и функции, но также и производные от функций.

Задача 1. Тело охладилось за 10 мин. От 100°до 60°, температура окружающей среды поддерживается постоянной равной 10°. Определить через

сколько минут температура тела станет равной 20°?

Решение. Из физики известно, что температура тела пропорциональна разности между температурой до которой нагрето тело и температурой окружающей среды. Обозначим T(t) – температуру в некоторый момент времени t,тогда скорость изменения температуры -. Так как скорость охлаждения пропорциональна температуре окружающей среды, то = k(T-10°) - это дифференциальное уравнение.

Задача 2. Материальная точка массы m падает под действием силы земного притяжения. Требуется определить путь пройденный точкой за время t,если в начальный момент точка имела скорость v=v₀, в точке 0 y=0, t=0.

0 Пройденный путь S является функцией времени t,

Y = S(t). q 9,81 м/c². С другой стороны y’’=q – это

дифференциальное уравнение.

является линейным уравнением относительно фун ции. Решение этого уравнения имеет вид = или

- общее решение

Определение. Уравнение вида: y’ + P(x) y = Q(x), n называется уравнением Бернулли.

Решение этого уравнения сводится к решению линейного уравнения следующим образом:

1). Разделим обе части уравнения на получим.

3). Подставляем в уравнение, обозначим { z = } подставим в уравнение, оно примет вид

z’- - решаем его,как линейное уравнение относительно неизвестной функции z по формуле z = z=,

окончательно z = x (x+c) – общее решение, подставим вместо z =, получим

y = 1 / (.

Определение. Уравнение вида

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 (1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если N (x,y) и M (x,y) непрерывные и дифференцируемые функции в D, удовлетворяющие условию

(2)

Условие (2) означает, что левая часть уравнения (1) представляет полный дифференциал некоторой функции U(x,y),то есть du= M (x,y) dx +N (x,y)dy = 0

Или Du = 0 → u(x,y) = c - общее решение уравнения (1).

Функцию u(x,y) можно находить двумя способами.

1). По формуле: u(x,y) =.

2)., интегрируем по переменной x,

u = (3)

интегрируем по переменной y,

U =. (4)

Какопределяются функции покажем на примере.

Пример 1. Найти общее решение уравнения = 0.

Решение. Сначала проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. M(x,y) =; N =. = y(x) – y (x₀) = y – y₀ .

y – y₀ =

y = y₀ + { переобозначим переменную интегрирования}

y₁ (x) = y₀ +; y₂(x) = y₀ + …..

……. y_n+1(x) = y₀(x) +.

Это алгоритм нахождения решения дифференциального уравнения 1-го порядка по методу итераций..

Погрешность по методу Пикара оценивается так: если f(x,y) определена и непрерывна в окрестности R { } и удовлетворяет условию

Липшица, L =const, то процесс заведомо сходится в промежутке

.

Пример. Найти приближённое решение уравнения y’ = x +, удовлетворяющее условию y(0) = 1.

Решение. y₀ = 1, x₀ = 0.

y₁ = 1 +

y₂ = 1 +

= 1 + x +.

yx +.

ЛЕКЦИЯ 25. Дифференциальные уравнения второго порядка, допус -

Дата добавления: 2014-01-06