Постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с

Теорема о структуре общего решения

Порядка

Неоднородные дифференциальные уравнения второго

Второго порядка с постоянными коэффициентами.

Ного уравнения. Линейные дифференциальные уравнения

Линейные однородные уравнения второго порядка

Линейные операторы

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Ные уравнения второго порядка. Линейные операторы

Кающие понижения порядка. Линейные дифференциаль-

Уравнения второго порядка в общем виде записываются так: y’’ = f (x,y,y’).

Возможны случаи:

1). y’’ = f (x), правая часть не содержит y и y’.

Решение находится непосредственным интегрированием.

y’’ = (y’)’ y’ =, ещё раз интегрируем y =.

Пример. Найти общее решение уравнения y’’’ = sin2x.

Решение. Интегрируем обе части уравнения три раза по x.

y’’= -, уравнение приводится к уравнению – это уравнение 1-го порядка.

Пример 1. Найти общее решение уравнения 1 +, при s/_t=0 =0; s’/_t=0 =5 м./сек. Это уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, обозначим s’=p. Уравнение примет вид;; - s’ = s’ =;

ds = s = 50 0=50;

s = 50. Ответим на вопрос:через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое?

s’ = v = 0,5v₀ = 2,5. 2,5 = Путь, который пройдёт лодка за это время s = 50

Уравнение вида 0.

Обозначим L[y] =.

2). L[Cy] = C L[y].

Операторы, обладающие свойствами 1 и 2 называются линейными операторами.

или L[, ч.т.д.

0 0

Теорема 2. Если - решение уравнения (1), то и С также решение уравнения (1), С =соnst.

Доказательство следует из свойств линейных операторов.

L[y₁]=0, то и L[Cy₁] = 0, ч.т.д.

Определение. Два решения называются линейно независимыми на [, если их отношение на этом отрезке не является постоянным, то есть, если в противном случае они называются зависимыми, то есть или.

Определение. Определитель W (= =, где y₁ и y₂ – функции от x, называется определителем Вронского.

Теорема 3. Если y₁ и y₂ 2 линейно независимых решения, то определитель Вронского, если решения зависимы, то определитель = 0.

Независимые решения образуют фундаментальную систему решений.

ЛЕКЦИЯ 26. Общее решение линейного однородного дифференциаль-

Если 2 частных решения уравнения

(3)

В данной системе неизвестными являются c₁ и c₂, определитель системы

W = c₁ =, c₂ =. Система (3) имеет единственное решение, следуя формулам Крамера, поэтому всегда можно найти с₁ и с₂, и функция (2) есть общее решение уравнения (1).

Вывод. Из доказанной теоремы следует, что для нахождения общего решения достаточно знать 2 его частных решения, образующих фундаментальную систему решений.

Это уравнения вида

y’’ + py’ + qy = 0 (1)

Чтобы записать общее решение, найдём 2 частных независимых решения y₁ и y₂, пусть это будут решения вида y = y’ = k y’’ = k², подставим в (1). или

0. (2)

Если k будет удовлетворять уравнению (2), то y =, будет решением уравнения (1).

Определение. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1).Находим корни характеристического уравнения k₁ = - +; Возможны случаи:

Дата добавления: 2014-01-06