Общие положения. Уравнение переноса

Прямая задача теории радиоактивных методов сводится к изучению показаний измерительных приборов в зависимости от состава и свойств горных пород, состава, свойств и геометрии скважинной среды, особенностей используемого источника, детектора излучения. Наиболее сложной, в значительной мере самостоятельной частью этой задачи является исследование пространственно-временного и энергетического распределений плотности излучения при известных данных о составе и геометрии сред, включая среды как окружающие измерительный прибор (зонд), так и входящие в его конструкцию.

Подлежащее изучению распределение ядерных частиц (нейтронов, - квантов) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению, называемому кинетическим, или уравнением переноса. Хотя точное его решение получено в настоящее время лишь для небольшого числа частных случаев, и потому обычно пользуются другими приближенными уравнениями, ознакомление с уравнением переноса необходимо для получения хотя бы качественного, но строгого представления об особенностях распределения ядерных частиц.

Вывод уравнения переноса основан на рассмотрении изменения во времени баланса частиц в некотором элементе объема шестимерного фазового пространства. Под фазовым пространством понимается пространство переменных, координатами которого являются три пространственные координаты и три составляющие импульса. Вместо последних удобнее использовать энергию(или скорость) и два направляющих косинуса, описывающих направление вектора . Совокупность последних двух величин принято обозначать единичным вектором направление которого совпадает с направлением .

Вывод уравнения переноса рассмотрим применительно к нейтронам, однако соответствующее уравнение применимо и к другим ядерным излучениям. Фазовая плотность нейтронов в момент в точкефазового пространства вводится как

где — число нейтронов в объеме обычного пространства около некоторой точки в момент времени t, причем рассматриваются лишь нейтроны, энергия которых лежит в интервале , а направление скоростей — в телесном угле около некоторого направления; .

Плотностью фазового потока нейтронов называется величина

.

Пучок нейтронов - совокупность нейтронов, направления которых заключены в телесном угле около направления , а энергия — в интервале .

Перейдем к рассмотрению баланса нейтронов пучка в некотором объеме в интервале времени .

Убыль нейтронов из пучка может быть обусловлена поглощением или изменением направления и энергии некоторых нейтронов при соударениях внутри объема. Убыль по этой причине равна , где - сечения соответственно захвата и рассеяния. Еще одна причина убыли нейтронов — утечка, т.е. обмен между объемоми соседними объемами благодаря свободному движению нейтронов. Величина утечки определяется производной от по направлению и согласно векторному анализу

Прибыль нейтронов в пучок может происходить из-за наличия источников нейтронов внутри объема а также вследствие того, что часть нейтронов других пучков после рассеяния внутри объема может приобрести направление и энергию, соответствующие рассматриваемому пучку.

Плотность источников в элементе фазового пространства обозначим - , тогда прибыль за счет источников равна . Прибыль за счет рассеяния нейтронов других пучков определяется индикатрисой рассеяния, т.е. вероятностью того, что нейтрон с энергией и направлением после рассеяния приобретает энергиюи направление Прибыль по этой причине в пучок равна

.

Алгебраическая сумма всех видов убыли и прибыли нейтронов за время дает изменениечисла нейтронов пучка в объеме за время .Разделив обе части полученного выражения на за время , обозначив ,перейдя к пределу при получим:

(1)

В случае переноса γ-квантов и замедления нейтронов вероятность перехода отличается от нуля лишь при где — максимальная потеря энергии при соударении . Поэтому нижний и верхний пределы интегралов в выражении (1) можно взять равными, соответственно и .

.

Согласно формуле , угол рассеяния γ-квантов однозначно связан с изменением

(2)

Отсюда следует, что при фиксированном изменении энергии с распределение определяется дельта-функцией Дирака . С учетом этого, а также при замене cos θ в формуле

правой частью равенства (2) можно получить следующее выражение для индикатрисы рассеяния :

(3)

При подстановке выражения (3), а также функций и в соотношение (2) получаем окончательный вид уравнения переноса для γ-квантов в случае, когда энергия источников т.е. когда отсутствует эффект образования пар. При исследовании замедления нейтронов удобнее представлять уравнение переноса в виде формулы (2).

Дата добавления: 2014-01-06