Чистое вращение

Чистое вращение	Чистая угловая деформация

Вращение ребер элементарного параллелепипеда приводит в общем случае как к угловой деформации элемента, так и к чистому вращению элемента как твердого тела.

Чистая угловая деформация отвечает ситуации, когда ребра вращаются с одинаковой угловой скоростью в противоположных направлениях.

Чистое вращение соответствует условию, когда ребра вращаются в одну сторону с одинаковой угловой скоростью (угол между ребрами не меняется).

Для того чтобы получить выражения для чистого вращения напомним понятия теоретической механики. Пусть некоторое тело вращается с угловой скоростью ω_z вокруг оси z.

Величина скорости точки тела М будет равна

, (7.9)

а ее проекции на оси x и y соответственно

, (7.10)

. (7.11)

Определив значения и , получим

(7.12)

Если аналогично рассмотрим вращение твердого тела вокруг осей x и y, то определим:

(7.13)

(7.14)

Рассмотрим, как связаны вектор угловой скорости и вектор вихря.

Выражения (7.12), (7.13), (7.14) представляют собой компоненты вектора угловой скорости. Вектор вихря определяется как векторное произведение оператора набла на вектор скорости

(7.15)

Следовательно, вектор вихря скорости жидкой частицы может быть определен вектором угловой скорости ω,

.

Таким образом, данная зависимость выражает связь вектора угловой скорости с вектором вихря скорости.

Физически неравенство нулю ротора скорости в какой-либо точке потока означает, что в этой точке имеет место вращение элементарного объема.

Иногда вихревое движение отождествляют с турбулентным. Это разные понятия. Вихревое движение может быть и ламинарным и турбулентным, а ламинарное и турбулентное (осредненное) движения в свою очередь могут быть как вихревыми, так и безвихревыми.

В теоретической механике известна теорема Шаля. Согласно данной теоремы скорость движения в какой-либо точке М твердого тела при его произвольном движении состоит из скорости поступательного движения полюса, назначенного произвольно, и скорости вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через данный полюс.

7.2 Теорема Коши-Гельмгольца (первая теорема Гельмгольца)

, (7.16)

- скорость поступательного движения полюса;

- скорость вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.

- вектор угловой скорости; - радиус-вектор.

скорость движения любой точки жидкой частицы складывается из скорости квазитвердотельного движения и скорости деформационного движения в данный момент времени (7.17)

В гидрогазодинамике есть теорема аналогичная теореме Шаля. Она называется теорема Коши-Гельмгольца. Данная теорема гласит, что:

Скорость квазитвердотельного движения складывается из скорости поступательного и вращательного движения.

Доказательство:

Определим в данный момент времени поле скоростей в окрестности точки М ₀ с координатами x, y, z.

Используя разложение в ряд Тейлора, можно найти значение скоростей и в точке М₁(x+∆x, y+∆y, z+∆z), расположенной в окрестности точки М ₀. Мы можем записать x - компоненту скорости в точке М₁:

(7.18)

1. Представим два последних слагаемых уравнения, состоящих из: 0,5члена+0,5члена;

2. Добавим и вычтем из этого уравнения величину

;

;

(7.19)

, (7.20)

, (7.21)

. (7.22)

Последние два слагаемых в полученных уравнениях представляют собой компоненты скорости, связанные с вращательным движением частицы вокруг оси. Три члена после первого в правой части уравнений представляют собой компоненты скорости деформации.

Эти три выражения можно записать в векторном виде

, (7.23)

где - скорость поступательного движения, - скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси с угловой скоростью ω, - скорость чистой деформации.

Теорема Коши-Гельмгольца:

Скорость любой жидкой частицы складывается из скорости поступательного движения полюса, скорости вращательного движения вокруг оси, проходящей через полюс, и скорости деформационного движения, которая в свою очередь состоит из скорости линейной деформации и скорости скашивания.

Вопросы к лекции 8.

1. Из каких типов движения складывается движение жидкой частицы?

2. Какие виды деформации имеют место в случае движения жидкой частицы?

3. Приведите выражения для скорости относительной линейной деформации по различным координатам.

4. Чему равно относительное изменение удельного объема в единицу времени, выраженное через относительные линейные деформации?

5. Приведите выражения для скоростей угловой деформации?

6. Что такое чистая угловая деформация?

7. Что такое чистое угловое вращение?

8. Приведите выражения для компонент вектора угловой скорости.

9. Приведите выражения для вектора вихря скорости.

10. Как определяется вектор вихря скорости?

11. Приведите зависимость, выражающую связь вектора угловой скорости с вектором вихря скорости.

12. Приведите формулировку теоремы Шаля.

13. Приведите формулировку теоремы Коши-Гельмгольдса.

Дата добавления: 2014-01-06