Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Системы счисления




 

Под системой счисления понимается совокупность приемов и правил представления чисел в виде конечного числа символов. Система счисления имеет свой алфавит – упорядоченный набор символов (цифр) и совокупность операций образования чисел из этих символов. Различают непозиционные и позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Алфавит включает символы I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D(500), M (1000). Значение числа, представленного в римской системе, определяется как сумма или разность цифр в числе, при этом, если меньшая цифра стоит перед большей цифрой, то она вычитается из последней, если после – прибавляется. Например, десятичное число 1998 в римской системе имеет вид MCMXCVIII. Непозиционные системы сложны и громоздки при записи чисел и мало удобны при выполнении арифметических операций.

Среди позиционных систем наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы. До сих пор используются отголоски 60 –ричной и 12 – ричной систем (в 1 минуте 60 секунд, в 1 часе 60 минут, часто применяется дюжина -12, в круге содержится 30 дюжин градусов, в сутках две дюжины часов, 1 фут равен 12 дюймам и т.д.).

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Каждая позиционная система характеризуется своим алфавитом цифр и основанием (2, 8, 10, 16). Основание системы равно количеству цифр используемого алфавита. В качестве алфавита берутся последовательные целые числа 0, 1, 2….(p-1). Если система счисления требует использования цифр больших 9, то применяются буквы латинского алфавита (например, в 16- ричной системе это буквы A, B, C, D, E, F). Арифметические действия над числами в системе с любым основанием выполняются по тем же правилам, что и в наиболее привычной для нас десятичной системе, с той только разницей, что надо применять те таблицы сложения и умножения, которые справедливы для данной системы счисления.

Само число в произвольной p - ичной системе счисления (основание системы равно p) представляется в следующем виде

, (1)

при этом число изображается как последовательность цифр , т.е.

 

.

 

Целесообразно рассмотреть следующие задачи:

1. Перевод чисел в десятичную систему из других систем (двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной).

Эта задача решается наиболее просто: процедура сводится к вычислению многочлена в правой части (1) в десятичной системе.

Например, .

2. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы.

Перевод целой части числа осуществляется делением этой части числа а основание системы, в которую выполняется перевод, а дробной части – ее умножением на основание системы. При этом обе операции выполняются в десятичной системе.

 

Пример 1. Перевести число 23 из десятичной системы в двоичную систему:

-22      
-10      
1 - 4    
1 - 2    
1    
0  

 

=101112 (собираются остатки от деления на 2 в порядке, обратном их получению).

 

Пример 2. Перевести число 0.24 из десятичной системы в пятеричную систему:

0.2410 = =0.115 (умножается дробная часть числа на основание системы, равное в нашем примере 5, дробная часть полученного произведения снова умножается на 5 и т.д., а затем собираются целые части полученных произведений в порядке их получения).

 

Пример 3. Перевести число 0.24 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему:

0.2410= 0.3D716

3. Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и обратный перевод.

Эту операцию проводят с использованием триад и тетрад (три и четыре разряда в двоичном представлении числа). Для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную число разбивают на триады влево о вправо от запятой, и в случае, когда последняя триада оказывается неполной, она дополняется нулями: для целой части – слева до трех разрядов, а для дробной части – справа. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой. Аналогично для перевода числа из двоичной системы в шестнадцатеричную число разбивают на тетрады, и каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

 

Пример 1. Перевести число из двоичной системы в восьмеричную.

10011100,10012=010’011’100,100’1002=234,448

Обратный перевод осуществляется заменой каждой цифры триадой или тетрадой.

 

В задачах индикации данных в десятичном представлении оказывается удобной двоично-десятичная система счисления. В этой системе десятичные цифры от 0 до 9 представляются двоичными комбинациями от 0000 до 1001.

При работе с отрицательными числами удобна двоичная дополнительная или обратная арифметика.

В современной вычислительной технике используется в основном двоичная система счисления. Ее главное преимущество состоит в том, что практическая реализация устройств, построенных на базе этой системе, возможно при использовании технических устройств лишь с двумя устойчивыми состояниями (материал намагничен или размагничен, заряд есть или нет, отверстие есть или нет и т.д.). В результате обеспечивается высокая надежность, помехоустойчивость систем, появляется возможность применять хорошо разработанный аппарат булевой алгебры и существенно упрощается выполнение арифметических операций. Главный недостаток двоичной системы - большое число разрядов при записи больших чисел.

Следует отметить, что с точки зрения построения кодов для устройств передачи, хранения и преобразования данных наиболее экономичной является система счисления с основанием 3. При этом произведение количества различных символов в алфавите системы и количества разрядов оказывается минимальным.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 373; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.