Упрощенный механизм проецирования

В пространстве выбирают произвольную точку S (рис.1.2) в качестве центра проецирования и плоскость П_i, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость П_i, через центр проецирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью П_i в точке А_i. Точку А_i принято называть центральной проекцией точки А, а луч SА - проецирующим лучом.

Рис. 1.2

Если проецирование осуществляется из какой-либо точки S, находящейся на конечном расстоянии от плоскости проекций, то образуется так называемое центральное (коническое) проецирование (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Недостатком центрального проецирования является трудоёмкость построения изображений и искажение формы предметов.

Если центр проекций S расположен в бесконечности, то все проецирующие лучи становятся параллельны между собой. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис.1.5). Такой способ проецирования называется параллельным, а полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

Если направление проецирования S задано под косым углом к плоскости проекций П, то параллельная проекция называется косоугольной, а если под прямым углом - прямоугольной (ортогональной). Прямоугольное проецирование позволяет обеспечить простоту графических построений и сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) и возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1. Проекция точки на плоскость есть точка (рис. 1.6).

A A₁.

2. Проекция прямой в общем случае прямая: l l₁, (рис. 1.6). Она вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проецирования.

3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии (рис.).

A l A₁ l₁

3.1. Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек (рис. 3):

A l B l A₁ l₁ B_l l₁

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекций

(рис.1.6):

К = а b K₁ = а₁ b₁

5. Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 1.6):

6. Если точка, принадлежащая отрезку прямой, делит его в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении (рис. 1.6):

Рис. 1.6

7. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 1.7):

lnl₁n₁

8. Если геометрическая фигура Ф принадлежит плоскости , параллельной плоскости проекций, то проекция этой фигуры на плоскость П₁ конгруэнтна (согласована)самой фигуре (проецируется в натуральную величину НВ):

9. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекцій (рис. 1.8).

Метрические характеристики геометрических фигур при параллельном проецировании в общем случае не сохраняются (происходит искажение линейных и угловых величин).

Рис. 1.7 Рис. 1.8

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ ТОЧКИ (ЭПЮР Г. МОНЖА)

Одна проекция точки не даёт возможности судить о положении точки в пространстве. Необходимо иметь две её параллельные проекции, полученные при двух различных направлениях проецирования.

Наиболее удобной для фиксирования положения любой геометрической фигуры в пространстве и выявления её формы по прямоугольным проекциям является, декартова система координат, состоящая из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей (рис.1.9).

Эти плоскости делят пространство на 8 частей (октантов) (рис.1.10).

Рис. 1.9 Рис. 1.10

П₁ - горизонтальная плоскость проекций,

П₂ - фронтальная плоскость проекций,

П₃ - профильная плоскость проекций.

Линии пересечения плоскостей проекций - оси координат:

X= П₁ Ç П₂, Y= П₁ Ç П₃, Z= П₂ Ç П₃.

Точка А₁ называется горизонтальной проекцией точки А, а точка А₂ - ее фронтальной проекцией. Точка А₃ называется профильной проекцией точки А,

Пространственная модель плоскостей проекций на рис.1.6 неудобна для практического использования, так как на плоскостях П₁ и П₃ происходит искажение формы и размеров проекций геометрической фигуры.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П₁ совмещают с плоскостью П₂, вращая вокруг оси x₁₂, а плоскость П₃ совмещают с плоскостью П_2, вращая вокруг оси x₂₃ (рис.1.11).В результате получим плоскостной чертеж точки А, состоящий из комплекса трех ее проекций.

Такой чертёж, составленный из двух или трёх связанных между собой прямоугольных проекций геометрической фигуры, называют КОМПЛЕКСНЫМ ЧЕРТЕЖЁМ.

Рис. 1.11

Дата добавления: 2014-01-06