Значение тавтологий

Классификация формул

Формулы алгебры высказываний подразделяются на следующие типы: выполнимые, тавтологии, опровержимые и тождественно ложные (противоречия).

Подстановка в формулу вместо переменных каких-либо их значений называется конкретизацией формулы.

Формула называется выполнимой, если некоторая ее конкретизация является истинным высказыванием. То есть формула выполнима, если существуют такие конкретные высказывания А, В, …, С, что .

Формула называется тождественно истинной или тавтологией, если любая ее конкретизация является истинным высказыванием.

Формула называется опровержимой, если некоторая ее конкретизация является ложным высказыванием.

Формула называется тождественно ложной или противоречием, если любая ее конкретизация является ложным высказыванием.

Для того чтобы определить, к какому типу относится формула, достаточно составить для нее таблицу истинности. Так, первая формула из 11 примера является тавтологией (она при любых наборах значений переменных принимает истинное значение), а вторую формулу можно назвать как выполнимой, так и опровержимой (так как она при разных конкретизациях принимает как истинные, так и ложные значения).

Основное значение тавтологий состоит в том, что некоторые из них представляют правильные способы умозаключения, то есть такие способы, которые от истинных посылок всегда приводят к истинным выводам. Именно такие рассуждения углубляют наши знания и обогащают их истинными сведениями. Например, любая тавтология вида соответствует некоторой общей схеме логического умозаключения.

Пример 12: Схема логического умозаключения, описываемого тавтологией , часто используется в математических доказательствах. Она состоит в следующем. Допустим, что требуется доказать истинность некоторого утверждения Х. Предполагаем, что истинно его отрицание . Затем доказываем, что существует некоторое утверждение У, для которого истинными являются оба утверждения: 1) и 2) . Доказательства истинности этих импликаций зависят от содержания конкретных высказываний Х и У и устанавливаются на основании методов и законов той математической теории, к которой они относятся.

Пусть истинность утверждений 1) и 2) установлена. Одновременный вывод двух взаимоисключающих предложений У и является противоречием. Тогда получаем, что наше предположение об истинности предложения неверно и истинным является утверждение Х.

Такой метод доказательства называется методом приведения противоположного утверждения к абсурду.

Дата добавления: 2014-01-06