Методы численного исследования конечных перемещений гибких стержней при статическом нагружении

Была получена система нелинейных уравнений, описывающих плоский изгиб гибких стержней:

Гибкие стержни можно рассматривать как некоторый полигон, на котором отрабатываются различные численные методы решения нелинейных задач механики дифференцированного твердого тела.

В качестве примера можно рассмотреть консольно закрепленную прямолинейную балку переменного поперечного сечения, нагруженную вертикальной силой на свободном конце.

Заменяя первые два уравнения системы интегральными соотношениями, можно получить:

;

.

Для прямолинейного в исходном состоянии нерастяжимого стержня из третьего уравнения следует:

;

а из шестого уравнения:

Теперь необходимо перейти к безразмерной координате,.

Подставляя в:

.

Полученное уравнение дополняется 6ю граничными условиями:

1)

2)

В итоге, (не было запятой) приходим к двухточечной краевой задаче. Необходимо отметить, что при дальнейшем исследовании будет также использоваться запись в виде системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Величина рассматривается как известная функция координаты.

Рассматриваемую краевую задачу можно решить численно, сводя ее к решению либо системы нелинейных алгебраических уравнений, либо к решению задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Проблема сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения (системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка) в обыкновенных производных.

Методы:

A. Методы, основанные на дискретизации задачи и сведении ее к системе нелинейных алгебраических уравнений;

B. Методы, основанные на сведении к задаче Коши и решении нелинейного операторного уравнения относительно начального уравнения.

В обоих случаях приходится решать нелинейную задачу.

Решение нелинейной задачи:

I. Решение нелинейной задачи посредством сведения ее к последовательности линейных задач;

II. Решение непосредственно линейной задачи, как правило, итерационными методами.

III.

Метод конечных разностей.

;

;

уравнений по.

Далее нужно решать! (стержень нерастяжимый).

Метод конечных элементов.

.

Эти уравнения нужно решать.

Метод стрельбы.

.

Это операторное уравнение, то есть известен алгоритм вычисления невязки. Если получить, то будет являться искомым значением.

Метод бисекций, метод золотого сечения, метод Ньютона.

;

.

Алгоритм: Стреляют, затем, находят и применяют итерационную формулу. Однако обычно так не поступают, а решают систему:

,

невязка.

Неприятности: Если приближение плохое, то процесс может и не сойтись.

Метод прогонки не годится, так как он основан на принципе суперпозиции,.

Метод ортогонализации по Годунову тоже не подходит.

Метод Ньютона-Канторовича
(предварительная линеаризация).

Предпосылки: имеется нелинейное уравнение и достаточно близкое приближение:

;

Здесь - основная часть, - малая поправка.

Подставляя в, получаем:

- это линейная система.

Рассматривается итерационный процесс, условие его окончания (см.стр.5).

И в том и в другом случае следует ввести разграничение задач на задачи со слабой нелинейностью и задачи с сильной нелинейностью.

Под слабой нелинейностью будут пониматься задачи, для которых решение может быть получено за один итерационный цикл. Другими словами, решение сразу разыскивается для заданного параметра внешнего возмущения. Такое решение будет изображаться в виде «тома», подразумевая под каждой «страничкой» однократное решение промежуточной задачи.

Под промежуточной задачей или промежуточной операцией («страничкой тома») будет пониматься либо решение линеаризованной задачи, либо одна итерация при решении нелинейной задачи.

Если нелинейность сильная, то приходится использовать пошаговое нагружение или методы продолжения решения по параметру. При этом решение на каждом шаге будет иметь смысл «тома».

При решении задачи со слабой нелинейностью априори предполагается, что искомое решение не слишком отличается от некоторого заранее известного решения, и для его нахождения можно использовать процедуру метода Ньютона-Канторовича.

Рассмотрим классическую процедуру метода Ньютона при решении нелинейного уравнения

Итерационная процедура строится с использованием следующей рекуррентной формулы:

Величину принято называть невязкой уравнения на -ой операции. Здесь и далее индекс, соответствующий номеру итерации, будет помещаться справа сверху и заключаться в круглые скобки. Для уравнения:

Итерационный процесс заканчивается, если выбранная норма вектора невязки оказывается меньше заранее назначенной малой величины.

Для некоторых методов соотношение удобно представлять в виде:

И далее определяют величину приращения из решения линеаризованной задачи.

В приводится следующий алгоритм, называемый методом Ньютона-Канторовича.

Уравнение представляется в следующем виде:

Раскрывая скобки и заменяя косинус суммы по формуле

,

полагая, что - малая величина, получаем:

Это уравнение является линеаризованным относительно. Его можно решить либо сводя к системе алгебраических уравнений, либо решая каким-либо из известных методов (например, методом начальных параметров) краевую задачу для системы линейных уравнений.

Предполагается, что поскольку уже найдено, все величины, как линейные, так и нелинейные, относительно этой величины могут быть найдены.

Краевая задача относительно запишется в виде:

Для сведения задачи к СЛАУ можно воспользоваться методом конечных разностей.

Уравнение можно дискретизировать М.К.Р., т.е. 1.

Можно решать методом начальных параметров, т.е. 2.

Граничные условия: при; при.

Необходимо вернуться к МКЭ метод последовательных нагружений (догружений).

Что же делать, если нелинейность сильная? В таком случае необходимо применять метод продолжения по параметру.

Метод Ньютона-Канторовича – это решение только одного шага сильно нелинейной задачи.

Методы:

1 - Метод непрерывного продолжения;

2 - Метод дискретного продолжения.

Решается задача:

;

Вводится параметр продолжения. Продифференцируем по:

.

Предполагается, что при решение известно.

Если, то.

Получается система линейных уравнений относительно производных по:

.

;.

Система решается, а затем рассматривается

;

.

Возможные упрощения (для общей системы):

- нерастяжимые стержни.

Основной класс:.

и в пределах участка постоянны,,.

Специальный выбор осей, чтобы, (Попов).

Метод начальных параметров.

При интегрировании системы дифференциальных уравнений необходимо располагать дополнительными условиями, которые позволяют определить постоянные интегрирования. При этом число дополнительных условий должно быть равно порядку интегрируемой системы.

Задача нахождения решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случае, если дополнительные условия заданы в начальной точке, называется начальной задачей, или задачей Коши. Дополнительные условия в этом случае называют начальными условиями. При численном счете решения начальной задачи получают, (не было запятой) последовательно интегрируя систему уравнений вдоль независимой переменной одним из численных методов.

Для задач строительной механики более характерны случаи, когда дополнительные условия заданы по краям, т.е. в начальной и конечной точках интервала интегрирования. Такие задачи принято называть краевыми задачами. Решать краевую задачу сложнее, чем начальную.

Одним из способов решения подобных задач является сведение краевой задачи к начальной задаче. Для этой цели часто применяется метод начальных параметров. Название метода отражает то обстоятельство, что в его основе лежит прием использования в качестве недостающих условий в начальной точке некоторых заранее неизвестных величин – начальных параметров, которые дополняют краевые условия до полноценных начальных условий.

Пусть дана краевая задача для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

с дополнительными условиями, распределенными поровну по концам интервала (рассмотренный алгоритм нетрудно распространить на тот случай, когда количество дополнительных условий на правом и левом краях неодинаково, но составляет в сумме).

где - вектор-столбец основных неизвестных размером, называемый также вектором состояния в текущем сечении,

- квадратная матрица коэффициентов при неизвестных размером,

- вектор-столбец свободных членов размером,

и - матрицы краевых условий размером,

и - векторы столбцы свободных членов в начальной и конечной точках интервала размером.

Общий интеграл системы уравнений имеет вид:

где - вектор констант, имеющий смысл вектора начальных условий,

- частное решение матричного уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным условиям,

- матрица фундаментальных решений однородной системы уравнений, т.е. системы при.

Запись отражает фундаментальный принцип суперпозиции, согласно которому решение системы линейных дифференциальных уравнений может быть представлено как сумма линейно независимых решений системы однородных уравнений, полученных из при нулевом векторе свободных членов, и частного решения системы неоднородных уравнений.

Следуя вышесказанному, частное решение определяют интегрированием системы с начальными условиями. Для построения матрицы фундаментальных решений систему необходимо проинтегрировать раз при следующих начальных условиях:

Векторы можно назвать пробными или базисными начальными векторами. Каждое частное решение, соответствующее одному пробному вектору, позволяет определить один столбец функциональной матрицы фундаментальных решений. Необходимо отметить, что при таком методе построения справедливо соотношение, здесь - единичная матрица.

Для определения компонент вектора необходимо решить систему алгебраических уравнений порядка, составленную из условий на левом и правом краю.

После нахождения вектора, имеющего смысл вектора начальных условий, проводится числовое решение начальной задачи, в результате которого определяется требуемое решение.

Необходимо отметить, что для решения краевой задачи приходится раза (включая числовое интегрирование) решать задачу Коши. Количество необходимых интегрирований можно уменьшить до раз, используя следующую модификацию метода. В большинстве практических случаев система распадается на две независимые подсистемы алгебраических уравнений. Другими словами, из граничных условий на левом краю удается сразу найти компонентов вектора начальных условий. В этом случае нет необходимости вести -кратное интегрирование с пробными векторами. Известные компоненты начального вектора следует сразу записать в соответствующие позиции пробных векторов. Оставшиеся неизвестными компоненты пробных векторов, как и ранее, задаются в виде линейно независимых комбинаций, состоящих из единицы и нулей. Проведя интегрирование, но теперь уже только раз, получаем матрицу размерностью. Вектор недостающих компонентов размерностью определяется из граничных условий на правом краю, которые в этом случае записываются следующим образом:

.

После нахождения всех компонентов вектора проводится чистовое интегрирование для получения решения исходной краевой задачи.

Дата добавления: 2014-01-06