Большие перемещения плоских пружин

Плоская пружина из тонкой ленты или проволоки может при изгибе получить большие перемещения, соизмеримые, например, с длиной пружины. Большие перемещения сопровождаются значительным изменением кривизны оси пружины. В то же время, если толщина пружины достаточно мала, то ее деформации могут оставаться малыми и упругими, поскольку наибольшая деформация прямо пропорциональная толщине пружины:

,

где - изменение кривизны оси пружины.

При больших перемещениях, в отличие от малых, принципы неизменности начальных размеров и независимости действия сил неприменимы; направление действия сил и место их приложения могут существенно изменяться в процессе изгиба.

Расчетная схема гибкого стержня.

Недеформированную ось стержня характеризуют величинами,, и.

Здесь

, - координаты текущей точки на оси стержня,

- угол наклона касательной к оси стержня в текущей точке,

- кривизна недеформированной оси в текущей точке,

- независимая криволинейная координата, отсчитываемая вдоль недеформированной оси стержня.

Выделим элемент на некотором расстоянии от начала координат на оси. Для недеформированного состояния справедливы следующие геометрические соотношения:

;,

Деформированному состоянию стержня соответствуют функции,, и, где - криволинейная координата, отсчитываемая вдоль деформированной оси стержня.

;,

Относительное удлинение элемента стержня:

.

Ограничиваемся случаем, когда относительное удлинение стержня меньше.

,

где - упругие деформации волокна, лежащего на оси стержня.

Из уравнения можно выразить длину элемента:

;.

Если подставить получившиеся значения в формулу:

,

Физические соотношения в рамках теории изгиба стержней Эйлера-Бернулли и в предположении, что деформации остаются упругими, выглядят следующим образом.

;,

где - модуль упругости первого рода,

и - площадь и момент инерции поперечного сечения в текущей точке оси.

Если преобразовать геометрические соотношения:

На величины углов поворота никаких ограничений не накладывается. Изменение кривизны в текущей точке оси:

.

Учитывая, можно получить:

.

Подставляя выражение:

;

;

.

Таким образом, можно получить геометрические дифференциальные зависимости:

Составляются уравнения равновесия для деформированного состояния элемента стержня. Для этого проецируются все внешние и внутренние силы на ось, направленную по касательной к срединной линии бесконечно малого элемента стержня, и ось, перпендикулярную к срединной линии.

Проекции на ось:

.

Проекции на ось:

.

Здесь и - продольная и поперечная силы соответственно,

и - интенсивности погонной нагрузки на стержень в нормальном и тангенциальном направлениях.

Учитывая, что,,, можно получить:

;

;

.

Сумма моментов:

,

где - изгибающий момент,

- интенсивность погонного изгибающего момента.

;

.

В общем случае геометрические характеристики сечения и механические характеристики материала в текущей точке являются функциями координаты. Полагается, что значения площади и момента инерции поперечного сечения мало отличаются от соответствующих значений для недеформированного состояния. В качестве основных неизвестных принимаются величины,,,,, и приводят уравнения к виду:

Дата добавления: 2014-01-06