Большие упругие перемещения винтовых цилиндрических пружин

Малые упругие перемещения цилиндрических винтовых пружин.

Анализ внутренних силовых факторов в поперечных сечениях витков цилиндрической пружины.

Геометрия винтового бруса.

Поперечное сечение обычно имеет круглую или квадратную форму. Размер поперечного сечения (в направлении нормали) - (круглое поперечное сечение) или a (квадратное поперечное сечение).

Индекс пружины: или.

В машиностроении:;

В приборостроении:.

Пружины при индексе (с индексом) очень трудно (сложно) изготавливать. Пружины с индексом получаются рыхлыми.

В большинстве практически важных случаев нагрузка прикладывается на концах цилиндрической винтовой пружины, и ее можно свести к силам, направленным по оси пружины, и параметрам, действующим в торцевых плоскостях перпендикулярно оси.

Моменты в сечении от:

- изгиб;

- кручение.

Моменты в сечении от силы:

4 (ненужная четвёрка)

.

В этих формулах верхний индекс момента показывает под действием какого силового фактора возникает момент, а нижний индекс – вокруг какого вектора данный момент действует. (вдоль какого вектора этот силовой фактор действует)

Силы в сечениях:

;

.

При вычислении силовых факторов в сечении используется стержневая модель, имеющая свои границы применимости (в частности, малое поперечное сечение при большой длине стержня).

При совместном действии моменты можно объединить:

;

.

Здесь,,,,

где - полное постоянное напряжение,

- текущий радиус-вектор.

В рамках стержневой модели действиями сил и пренебрегают.

При нагружении пружины осевыми силами и закручивающими моментами пружина деформируется, изменяя свои размеры, но продолжая оставаться винтовым брусом.

;

;

. (возможно правильнее)

Особенно существенно изменяется угол. Величиной ()ввиду ее малости можно пренебрегать. Величины и являются функциями нагрузки, начальных размеров пружины и свойств материала.

При малых перемещениях можно воспользоваться принципом начальных размеров и принять

;

Если воспользоваться интегралом Мора:

;

;

(добавил единицы для лучшего понимания)

;

.

Перемещения:

,

где.

Получаем суммарные перемещения:

Угол поворота концевого сечения:

.(добавил единицы для лучшего понимания)

(потерян квадрат над D₀)

В инженерной теории пружин считается, что угол - малый угол.

В сопротивлении материалов выводились упрощенные зависимости.

(формула Рело),

Уравнения и ((1.1) и (1.2)) позволяют решать многие задачи.

Как и при малых перемещениях, пружина остается винтовым брусом. Однако поскольку основные параметры изменяются, необходимо строго разграничить начальные и конечные значения основных параметров.

;

.

Кривизна:

.

Крутка:

.

Их приращения имеют следующий вид:

;

.

Из физических соотношений известно, что:

;.

Уравнения равновесия записываются для деформированного состояния. В этом состоит отличие от линейной теории расчета.

;

.

Здесь угол - угол в деформированном состоянии.

Полученная система уравнений позволяет при известных, и начальных значениях параметров и найти и, то есть построить упругую характеристику пружины.

Можно получить зависимость для пружины растяжения-сжатия, свободно закрепленной на торцах.

Разделив первое уравнение системы на второе можно получить:

;

;

Второе уравнение системы (1.3):

;

Если преобразовать числитель:

Подставляя числитель в выражение (1.4):

;

(в знаменателе лишняя С)

; (неверная формула)

. (неверная формула)

Используя полученное уравнение, можно получить упругую характеристику.

Нелинейность связана с и.

Сжатие – возрастающая характеристика.

Растяжение – затухающая характеристика.

Осадка пружины:

,

где.

Угол взаимного поворота торцов:

;

.

Для пружины растяжения-сжатия, то есть нагруженной силой, основное влияние оказывает.

При сжатии:,,,.

.

Таким образом, возрастает быстрее, чем.

При растяжении:,,,.

.

Таким образом, возрастает медленнее, чем

Дата добавления: 2014-01-06