Изгиб винтовой цилиндрической пружины

Порядок расчета заневоленных пружин.

Расчет заневоленных пружин.

В целях повышения несущей способности в пределах упругости винтовые пружины заневоливают.

В первую очередь это относится к пружинам сжатия, расчет которых опирается на диаграмму сдвига.

1) Исходя из условия достаточного запаса выбирается (наибольший сдвиг)

.

2) На контуре упругого ядра () напряжения, следовательно,. Учитывается гипотеза о геометрии деформации: поперечные сечения остаются плоскими, их радиусы не искривляются.

;.

Целесообразно принимать.

3).

Интеграл Мора:

.

Гипотеза плоских сечений:

;

.

,

так как,,

где - текущий радиус.

.

В соответствии с гипотезами:.

;;

.

.

,

где.

Интеграл подлежит вычислению графическим способом и представляет собой момент инерции заштрихованной площади относительно оси.

Разгрузка:

.

Таким образом, можно определить остаточные напряжения.

Постановка задачи. Необходимо сконструировать пружину. Заданы,, некоторые габаритные размеры,.

Расчет.

1 - Руководствуясь диаграммой, выбирают

,

где - коэффициент запаса.

.

2 - Определяют:

;;;

;.

3 - Задаваясь, находят:

;;

;

,

где.

. (с учетом того, что D=C*d)

Полученное значение диаметра округляется до значений ГОСТ.

.

4 -;.

;

;

,;

,

где.

.

Пружины обжимаются до появления в сечении пластических деформаций (как правило, пружина обжимается до соприкосновения витков,).

Угол подъема полагается малым. Виток лежит в плоскости.

.

Эта формула применима только в пределах закона Гука.

;; - крутка.

Этой зависимостью можно пользоваться за пределами закона Гука.

;;

.

В силу гипотезы о прямолинейности радиуса, гипотеза справедлива и за пределами упругости:

;.

Подсчитаем крутящий момент:

;

;

;

;

;

.

5 - По заданному и эпюре находят.

6 -

7 -

;.

;

;

Рис.31. Изгиб пружины.

Величину изгибной жесткости винтовой цилиндрической пружины необходимо знать при изучении устойчивости пружин сжатия, при расчетах поперечных колебаний, а также в случае нагружения силами.

Используются две различные схемы:

1. Схема эквивалентного бруса.

2. Схема пространственного стержня.

Реальная пружина имеет жесткость на растяжение-сжатие, изгиб, сдвиг, кручение. В балочной теории учитываются только изгибная и сдвиговая жесткости.

Попытаемся определить эквивалентные изгибную и сдвиговую жесткости цилиндрической пружины. При этом будем использовать гипотезу о том, что, т.е. каждый виток пружины – плоский.

Рассмотрим брус, характеризующий пружины. Величины и можно определить из равновесия части пружины, расположенной по одну сторону от витка. Рассматриваемые силовые факторы:,,,.

;

;

.

Определим угол поворота, вызванный действием моментов и:

;

Определим перемещение, вызванное действием и:

.

В результате поворота на угол ось пружины принимает форму дуги радиуса:

.

Пружину можно представить как некоторый стержень с изгибной жесткостью:

;

. (где H=h*i)

Для круглого поперечного сечения имеем:

;

.

В итоге:

.

Эта формула справедлива до момента, когда витки на одной стороне пружины сомкнутся.

Рассмотрим сдвиг.

Взаимное смещение двух соседних витков в вертикальном направлении на величину вызывает дополнительный поворот на угол.

;

.

При замене пружины эквивалентным стержнем в случае поперечного изгиба необходимо, чтобы этот стержень был равноценен пружине по изгибной жесткости и по жесткости при сдвиге.

,

где - сдвиговая жесткость.

Для круглого поперечного сечения:

.

Пользуясь схемой эквивалентного прямолинейного стержня, можно определить перемещения при любых нагрузках при помощи интеграла Мора:

.

Пример:

Дано:,,,,,,.

Необходимо определить прогиб в точке.

Решение:

Подсчитываем жесткости:

Величины и называют параметрами жесткости.

Тогда:

;

Устойчивость винтовыхцилиндрических пружин. (пропущен пробел)

Устойчивость винтовых пружин сжатия.

Сжатие пружины достаточно большой высоты (то есть отношение велико) может сопровождаться потерей устойчивости.

В качестве расчетной схемы пружины воспользуемся схемой эквивалентного стержня.

Задача исследования устойчивости пружины сходна с задачей Эйлера, однако имеет следующие отличия:

1. Высота пружины является переменной величиной,.

2. В задаче Эйлера используется только изгибная жесткость, а в случае с пружиной используются изгибная и сдвиговая жесткости.

3. Параметры жесткости и зависят от высоты пружины, то есть

Поперечный прогиб оси можно представить как сумму двух перемещений:

Данное предположение верно при малых перемещениях.

Поскольку прогиб мал, то вторая его производная, то есть кривизна, может быть представлена суммой кривизн:

;

,

где - изменение кривизны. Начальная кривизна считается равной нулю.

- жесткость эквивалентного стержня при изгибе.

Так как момент, то знак «-» соответствует отрицательной кривизне.

Подставив, получаем:

.

Величина приходится на каждый виток, при этом ее нельзя считать бесконечно малой.

Для малых углов справедливо:

.

Тогда:

Подставив в получаем ДУ:

;

Вводится коэффициент:

Тогда уравнение приобретает вид:

.

Граничные условия:

Решение уравнения имеет вид:

.

Находим константы интегрирования. Из первого граничного условия получаем, что. Из второго граничного условия:

.

Тогда

.

Или, для:

;

,

то есть необходимо учитывать изменение высоты пружины.

Получаем критическую силу:

,

где;;;.

Необходимо отметить, что жесткости не являются постоянными.

Введем коэффициент приведения длины. Тогда можно записать следующее соотношение:

;

;

.

Подставим:

;

;

.

Поделим уравнение на:

;

;

;

.

Здесь - коэффициент, учитывающий способ крепления концов стойки.

Рассмотрим частный случай круглого сечения.

Дано:,,.

Подставляем эти данные в последнее выражение:

.

Чем больше отношение, тем устойчивее пружина. Если же подкоренное выражение дает мнимое значения, то это можно объяснить так: пружина устойчива при любом значении прогиба.

Предельная высота пружины определяется из условия равенства нулю подкоренного выражения.

.

Если, то происходит потеря устойчивости пружины.

Таким образом, в вопросах устойчивости пружин значение имеет только отношение высоты пружины к диаметру.

Пример:

Дано:,,.

Решение:

Сечение витка пружины считаем круглым. Вычисляем отношение высоты к диаметру:

.

Вывод: Пружина теряет устойчивость. При этом критическое смещение конца пружины равно:

.

Дата добавления: 2014-01-06