Расчет прогибов и напряжений в плоской мембране в области малых перемещений

Мембраны.

Во многих манометрических приборах в качестве упругого элемента применяют мембрану – гибкую круглую пластинку, получающую значительны упругие прогибы под действием давления.

Мембраны могут плоскими (пропущен глагол "быть") или гофрированными.

Мембраны используются как:

1 - чувствительные элементы приборов. Манометрические приборы могут измерять давления от нескольких миллиметров водяного столба до сотен атмосфер;

2 - разделители двух сред, гибкие уплотнители при передаче перемещений из области давления или вакуума и т.д.

Материалы могут быть самыми разнообразными. Мембраны изготавливаются из высококачественных сталей и бронз, иногда – из неметаллических материалов: резины, пластмасс, армированных тканью, из капроновых и металлических нитей. Толщина мембраны обычно. Иногда это толстые пластины, которые совершают незначительные перемещения.

Для плоских мембран необходимо обеспечивать высокое качество поверхности, неровностей быть не должно.

I. Линейная теория изгиба круглых пластин (когда срединная плоскость не деформируется);

II. Нелинейная теория;

III. Абсолютно гибкая мембрана.

Используются следующие гипотезы:

1) о неизменности нормали (нормаль поворачивается, не искривляясь);

2) о непродавливании (о не надавливании?) слоев (точки срединной поверхности пластинки не смещаются в радиальном направлении, то есть получают только вертикальные прогибы).

Плоская мембрана, измеряющая давление, может быть представлена как круглая пластинка радиуса, толщиной, защемленная по контуру и нагруженная давлением.

Используются следующие обозначения:

o и - текущий и полный радиус мембраны соответственно;

o - давление на мембрану;

o - толщина мембраны.

Ограничивая задачу областью малых перемещений, будем считать, что пластинка работает только на изгиб, а растяжение срединной плоскости отсутствует. В области малых перемещений имеет упругую характеристику, близкую к линейной, и для ее расчета можно воспользоваться линейной теорией изгиба круглых пластинок.

;

;

;

;

;.

Изгибающие моменты в радиальном и окружном направлениях связаны с углом поворота выражениями:

;

.

По величине моментов могут быть посчитаны изгибные напряжения:

;

.

Ниже представлены эпюры напряжений в верхних слоях пластинки.

Эквивалентное напряжение в точках мембраны можно определить, пользуясь какой-либо из теорий прочности. Например, по теории энергии формоизменения для плоского напряженного состояния имеем:

.

Наибольшее напряжение возникает в точке у заделки мембраны. Для этой точки имеем:

.

При получаем

.

Граничные условия задачи позволяют определить постоянные, и. В нашем случае имеем следующие граничные условия:

;

.

Тогда с учетом найденных постоянных интегрирования выражения для угла поворота нормали и прогиба мембраны:

;

.

За характерное значение прогиба возьмем прогиб в центре мембраны:

.

В безразмерной форме:

;

;

это для.

Важными рабочими параметрами мембраны как манометрического упругого элемента являются ее эффективная площадь и перестановочное усилие. Деформируясь под действием рабочей нагрузки, упругий элемент обычно встречает сопротивление со стороны механизма прибора в виде, например, сил трения, противодействия различных пружин механизма и др. В этом случае правильность работы прибора будет во многом определяться способностью упругого элемента преодолевать это сопротивления. Такое свойство упругого элемента удобно оценивать величиной перестановочного (тягового) усилия, с которым упругий элемент будет воздействовать на препятствие, ограничивающее его перемещение. Способность манометрического элемента развивать перестановочную силу удобно характеризовать тяговой силой, соответствующей единице давления. Так как эта тяговая сила имеет размерность площади, то принято представлять ее в виде так называемой эффективной площади. В нашем случае имеем:

;

.

Это выражение дает приемлемое значение только для малых прогибов, в дальнейшем характеристика отклоняется от линейной.

При расчетах некоторых манометрических приборов также нужно знать изменение объема внутренней полости упругого элемента. В нашем случае имеем:

;

.

Дата добавления: 2014-01-06