Мембраны. Лабораторная работа «Оптимизация»

Вывод нелинейных уравнений тонкостенной оболочки вращения.

Равновесие центральной части оболочки.

Уравнения совместности деформаций.

Метод наложения для определения упругой характеристики гофрированной мембраны.

;

;

.

В случае абсолютно гибкой изотропной пластинки:

где - параметр нагрузки.

Уравнения системы решается методом Бубнова-Галеркина.

,

что соответствует форме упругой поверхности, близкой к сферической.

.

Решение ищем в виде:

.

Граничные условия:

1);;

2)

;;

;;

;

;

;

.

Постоянную можно выразить через прогиб:

;

;;

;

;

.

Деформация срединной поверхности обозначается с индексом «0».

;;

;

;

;

;

;

;

;;

;

;

.

;

;

;

;

;

.

Третье уравнение – уравнение суммы моментов относительно касательной в окружном направлении:

;

При исследовании манометрических элементов на ЭВМ используются дифференциальные уравнения тонкостенной оболочки вращения в больших перемещениях (пружины Бурдона, сильфоны).

При выводе этих уравнений будем исходить из обычных гипотез теории оболочек (гипотезы Кирхгофа), считаем, что. Величина может быть переменной по диаметру. Перемещения большие,, однако (не хватает запятой) задача ограничивается областью упругих деформаций..

Нелинейные дифференциальные уравнения для пологой оболочки вращения.

,,,.

После нагружения угол.

, и - соизмеримы.

Величина называется цилиндрической жесткостью. Заменяя моменты и в уравнении выражениями, получим дифференциальное уравнение равновесия круглой пластинки при изгибе:

где поперечная сила в рассматриваемом случае определяется выражением.

Интегрируя уравнение, найдем угол поворота нормали к срединной поверхности:

Постоянные и определяются из граничных условий. В центре пластинки и у заделки угол поворота. Отсюда и. Подставляя и в решение, получим:

Зная угол поворота, можно найти прогиб с помощью выражения:

.

Подставляя сюда угол в соответствии с формулой и произведя интегрирование, получим:

Постоянная определяется из условия, что у заделки (т.е. при) прогиб отсутствует,. Отсюда

.

Тогда уравнение упругой поверхности плоской мембраны при малых перемещениях примет вид:

.

Прогиб центра мембраны равен

Заменяя величину цилиндрической жесткости по формуле, получим при значении:

Уравнение выражает в безразмерной форме характеристику плоской мембраны, нагруженной давлением в области малых прогибов. Эта характеристика линейна.

Изгибные напряжения распределяются по линейному закону; их наибольшие значения определяются выражениями при:

а)

б)

в)

На рисунке показаны эпюры напряжений в верхних слоях пластинки (б), эпюры изгибных напряжений по толщине стенки (а), напряженное состояние точек и (в). Эквивалентное напряжение в этих точках можно определить, пользуясь, например, теорией энергии формоизменения для плоского напряженного состояния:

,

где и - главные напряжения.

В центре мембраны (точка) главные напряжения равны:

;

.

При эквивалентное напряжение.

На краю мембраны (точка):

;;

;.

Таким образом, опасной будет точка у заделки мембраны. Величина допускаемого давления определяется из условия

;

;

Найдем связь между величинами напряжений в пластинке и ее прогибом. Для этого в формулах выразим давление через прогиб центра по формуле. Радиальные и окружные напряжения в точках поверхности на наружном контуре:

;.

и в центре мембраны:

.

Дата добавления: 2014-01-06