Ответ. 0,56

Задание B10 (№ 320433) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

То есть вероятность объединения двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Теорема. Для любых двух совместимых событий справедливо равенство

Определение. Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными.

Задачи и базы ЕГЭ.

Задание B10 (№ 322395) В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 15 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 18 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AÇB),

Решение. Согласно вопросу задачи, нас интересует наличие кофе в двух автоматах по истечении одного дня. Поэтому возможными исходами рассматриваемого опыта являются: U₁={в первом автомате остался кофе, во втором автомате остался кофе}={I+; II+} здесь и далее I+ – в первом автомате остался кофе, II- - во втором автомате закончился кофе, U₂={в первом автомате остался кофе, во втором автомате закончился кофе}={I+; II-}, U₃={в первом автомате закончился кофе, во втором автомате остался кофе}={I-; II+} и U₄={в первом автомате закончился кофе, во втором закончился кофе}={I-; II-}. Таким образом, множество возможных исходов рассматриваемого опыта состоит из четырёх элементов: U₁, U₂, U₃ и U₄, причём вероятность исхода U₄={I-; II-} нам известна, и она равна 0,16. Заметим, что исходы I- – в первом автомате закончился кофе и II- - во втором автомате закончился кофе не являются независимыми. Действительно, если предположить обратное, то по теореме о вероятности совместного осуществления двух независимых событий вероятность исхода U₄={I-; II-} получится равной , тогда как по условию задачи эта вероятность равна 0,16. Кроме того, поскольку оба исхода I- и II- могут наступить одновременно, то эти исходы являются совместными. А значит, вероятность события D=(I-II-) – «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов», которому благоприятствуют исходы U₂={I+; II-}, U₃={I-; II+} и U₄={I-; II-}, согласно теореме о вероятности объединения двух совместных событий, равна: P(I-II-)=P(I-)+P(II-)-P(I-II-)=0,3+0,3-0,16=0,44. Событие C – «к концу дня кофе остался в обоих автоматах» является противоположным событию D=(I-II-) – «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов», а значит, вероятность события C равна: 1-0,44=0,56.

Определение. События называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен одному и только одному из них.

Теорема (о вероятности противоположных событий). Для любого события A имеем: P(`A)=1-P(A).

17. Задание B10 (№ 320631) Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,27. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение. Построим множество возможных исходов рассматриваемого опыта. В соответствии с вопросом задачи, нас интересует результат работы трёх ламп по истечении одного года. Поэтому, исходы нашего опыта таковы:

U₁={первая лампа горит, вторая лампа горит, третья лампа горит}=(Г, Г, Г), причем .

U₂={первая лампа горит, вторая лампа горит, третья лампа перегорела}=(Г, Г, П), причем .

U₃={первая лампа горит, вторая лампа перегорела, третья лампа перегорела}=(Г, П, П), причем .

U₄={первая лампа перегорела, вторая лампа перегорела, третья лампа горит}=(П, П, Г), причем .

U₅={первая лампа перегорела, вторая лампа горит, третья лампа горит}=(П, Г, Г), причем .

U₆={первая лампа перегорела, вторая лампа перегорела, третья лампа перегорела}=(П, Г, П), причем .

U₇={первая лампа горит, вторая лампа перегорела, третья лампа горит}=(Г, П, Г), причем .

U₈={первая лампа перегорела, вторая лампа перегорела, третья лампа перегорела}=(П, П, П), причем .

Таким образом, множество U всех исходов рассматриваемого опыта состоит из восьми элементов U= {U₁, U₂, U₃ ,… U₇, U₈}. Заметим, что исходы опыта не являются равновероятными.

Событие А - «в течение года хотя бы одна лампа не перегорит» является противоположным событию - «в течении года перегорят все три лампы» (действительно, событию А благоприятствуют исходы U₁, U₂, U₃ ,… U₇, а событию благоприятствует исход U₈), поэтому искомая вероятность, согласно теореме о вероятности противоположных событий, равна разности 1-. Найдем вероятность события . . Таким образом, искомая вероятность, равная разности 1-, равна 0,980317.

Дата добавления: 2014-01-06