Электрическое поле равномерно заряженной нити ( )

Электрическое поле на оси равномерно заряженного круга.

Электрическое поле на оси равномерно заряженного тонкого кольца.

Выделим элементарный участок кольца с зарядом

,

где R - радиус кольца.

В точке на оси с координатой напряженность от элементарного участка направлена вдоль в случае.

Очевидно, результирующее поле направлено вдоль оси. Найдем проекцию:

;

Результирующая напряженность равна:

где - заряд кольца,.

Напряженность электрического поля равна нулю в центре кольца и убывает до нуля при по закону обратных квадратов:

,

так как для этих точек. Таким образом, величина напряженности принимает максимальное значение в некоторой точке на оси, которую можно найти, используя необходимое условие максимума:

.

Координата этой точки равна:

.

Убедитесь в этом самостоятельно. Максимальное значение равно:

.

Результирующее поле на оси круга можно вычислить как сумму полей колец с радиусами от до – радиус круга:

;

,

где;

Получим

.

Зависимость представлена на графике. Вблизи круга или при (неограниченная пластина). Напряженность не зависит от расстояния:

.

Поле неограниченной пластины является однородным. Вдали от круга при электрическое поле убывает как поле точечного заряда по закону обратных квадратов:

,

где - заряд круга.

Самостоятельно исследуйте электрическое поле на оси круглого отверстия в неограниченной равномерно заряженной пластине.

а) Электрическое поле на оси прямой нити (). Введем обозначение, где - длина нити, – расстояние до точки от ближайшего конца нити.

Напряженность от элементарного участка нити равна:

.

Для результирующей напряженности получаем:

.

Для точек, удаленных от нити, при условии, напряженность убывает по закону обратных квадратов:

.

б) Электрическое поле прямой нити в точках вне оси.

Геометрия положения точки пространства относительно нити однозначно задается расстоянием и углами и.

Выделим элементарный участок нити, который создает элементарную напряженность в точке величиной

.

Здесь, – расстояние от элементарного участка до точки, - полярный угол для элементарного участка, - угловой размер элементарного участка.

В последнем соотношении произведем замену переменной интегрирования на полярный угол. Воспользуемся для этого геометрической связью

,

- элементарный участок дуги окружности радиусом.

Для проекций и получаем:

,

.

Интегрируя от до находим для проекций:

,

.

Модуль результирующего вектора равен, а направление вектора определяется углом, для которого выполняется условие:

.

Отметим, что электрическое поле прямой нити обладает осевой симметрией.

Дата добавления: 2014-01-06