Связь между потенциалом и вектором

Разность потенциалов двух точек поля заряженного цилиндра.

Разность потенциалов двух точек поля заряженной сферы.

Потенциал поля объемно заряженного шара.

Потенциал в точках на оси равномерно заряженного круга.

Потенциал поля в точках на оси заряженного кольца.

Потенциал поля точечного диполя.

Согласно принципу суперпозиции, учитывая, что:

Потенциал поля диполя зависит от его электрического момента p и убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда.

Для расчета воспользуемся линейным интегралом:

,

где - заряд кольца. Для всех

- потенциал кольца убывает как потенциал поля точечного заряда.

В центре кольца (x = 0) потенциал равен:

.

Для расчёта следует воспользоваться поверхностным интегралом:

.

Представим круг как систему колец с радиусами, тогда,,.

Для получим:

.

Для точек достаточно удаленных от круга:

.

Получите самостоятельно этот результат.

Для простоты расчетов примем.

Зависимость для этого случая представлена на рисунке. Потенциал точек внутри шара равен заштрихованной площади, согласно геометрическому смыслу интеграла:

,

так как потенциал равен работе по перемещению единичного положительного из данной точки в бесконечность, где потенциал принят равным нулю.

Учитывая зависимость:

где, получаем для точек внутри шара:

.

Для точек вне шара потенциал убывает с расстоянием как поле точечного заряда:

.

Зависимость представлена на рисунке, где

,

.

Для точек вне сферы в однородном диэлектрике

.

Найдем разность потенциалов:

.

При интегрировании учтено, что, где – приращение модуля радиус-вектора.

Для точек вне цилиндра в однородном диэлектрике:

,

где.

.

Лекция 5.

Электрическое поле полностью описывается векторной функцией, которая позволяет найти силу, действующую на точечный заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при перемещении заряда и др. Введение потенциала позволяет просто вычислить работу по перемещению заряда:

,

кроме того, зная потенциал, можно восстановить поле.

Приращение потенциала равно:

.

следовательно,

,,,

где символ частной производной подчеркивает, что функцию надо дифференцировать, например, по, считая и при этом постоянными.

Таким образом, вектор можно представить в виде:

.

Напряженность поля равна со знаком минус градиенту потенциала.

Зная, по этой формуле можно восстановить поле.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти напряженность поля, потенциал которого имеет вид:, где - постоянный вектор.

Представим,

где - постоянные.

Найдём проекции:

,,,

следовательно,.

Видно, что поле является однородным.

2. Напряженность поля на оси кольца. Зная потенциал поля на оси кольца, легко найти зависимость, взяв производную с обратным знаком:

.

Этот же результат мы получили, используя принцип суперпозиции.

3. Аналогично можно получить выражение для поля на оси круга.

Убедитесь в этом самостоятельно.

Дата добавления: 2014-01-06