Прямая угловая засечка

Обратная геодезическая задача на плоскости

Прямая геодезическая задача на плоскости

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X₂, Y₂ второго пункта, если известны координаты X₁, Y₁ первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (2.7):

(2.8)

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X₁, Y₁ и X₂, Y₂ (рис.2.5).

Рис.2.5

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 (ΔX = X₂ - X₁, ΔY = Y₂ - Y₁), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.

Если Δ X 00 и Δ Y 00, то решаем треугольник по известным формулам:

(2.9)

(2.10)

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (1.22) находим:

(2.11)

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:

• определение номера четверти по знакам приращений координат Δ>X и ΔY (рис.1.4-а),
• вычисление α по формулам связи (1.22) в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:

(2.12)

Если ΔX = 0.0, то

S = ¬ΔY¬;
и α = 90^o 00' 00" при ΔY > 0,
α = 270^o 00' 00" при ΔY < 0.

Если ΔY = 0.0, то

S = ¬ΔX¬
и α = 0^o 00' 00" при ΔX > 0,
α = 180^o 00' 00" при ΔX < 0.

Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль:

(2.13)

если ΔY => 0^o, то α = a,
если ΔY < 0^o, то α = 360^o - a.

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β₁ и β₂ измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6).

Рис.2.6

Исходные данные: X_A, Y_A, α_AC,
X_B, Y_B, α_BD

Измеряемые элементы: β ₁, β₂

Неизвестные элементы: X, Y

Если α_AC и α_BD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D.

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β₁ и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β₂ и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

1. вычислить дирекционные углы линий AP и BP

(2.14),

(2.15)

1. написать два уравнения прямых линий

для линии AP Y - Y_A= tgα₁ * (X - X_A),

для линии BP Y - Y_B= tgα₂ * (X - X_B) (2.16)

1. решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

(2.17),

(2.18)

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β₁ и β₂ измерены от направлений AB и BA, причем угол β₁ - правый, а угол β₂ - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.2.7.

Рис.2.7

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:

1. решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол α_AB и длину b линии AB,
2. вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,

(2.19)

1. используя теорему синусов для треугольника APB:

(2.20)

вычислить длины сторон AP (S₁) и BP (S₂),

1. вычислить дирекционные углы α₁ и α₂:

(2.21)

1. решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P.

Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

(2.22)

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол α_AB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

BAP = α_AB - (α_AC + β₁) и ABP = (α_BD + β₂) - α_BA.

Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:

1. вычисление дирекционных углов α₁ и α₂,
2. введение местной системы координат X'O'Y' с началом в пункте A и с осью O'X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов α₁ и α₂ из системы XOY в систему X'O'Y' (рис.2.8):

X'_A = 0, Y'_A = 0,

(2.23),
(2.24),

1. запись уравнений линий AP и BP в системе X'O'Y':

(2.26)

Рис.2.8

и совместное решение этих уравнений:

(2.27)

1. перевод координат X' и Y' из системы X'O'Y' в систему XOY:

(2.28)

Так как Ctgα₂' = - Ctgγ и угол засечки γ всегда больше 0^о, то решение (2.27) всегда существует.

Дата добавления: 2014-01-06