Пример. Интерполяционный полином Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа

x	x0	x1	x2	…	xn
y	y0	y1	y2	…	y x yn

y=f(x)

y₁=f₁(x), y₂=f₂(x), …, y_n=f_n(x)

y_i=f_i(x)

Общий вид полинома

L_n(x)=l₀y₀+l₁y₁+…+l_ny_n

x	x1	x2
y	y1	y2

Случай для трех точек

x	x1	x2	x3
y	y1	y2	y3

x	1	2	4
y	3	4	6

.

Точность интерполяции

Точность интерполяционного полинома Лагранжа определяется через остаточный член интерполяционной формулы. График интерполяционного многочлена проходит через узловые точки, т.е. значения многочлена и данной функции совпадают в узлах x_i: f (x_i)=φ(x_i). В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции появляется погрешность

R(x)=f(x)–φ(x), x_i< x_< x_i+1

Эта разность и есть погрешность интерполяции и по-другому она называется остаточным членом интерполяционной формулы. Есть возможность оценить ее значение. Предположим, что заданные числа у_i является значением некоторой функции в точках x=x_i. Пусть эта функция непрерывна и имеет непрерывные производные до (n+1) порядка. В этом случае остаточный член интерполяции многочлена Лагранжа имеет вид

Здесь функция f⁽ⁿ⁺¹(x) является производной (n+1) порядка функции f(x) в некоторой точке x, которая принадлежит интервалу [x₁, x_n]. Максимальное значение этой функции модно обозначить через

Интерполяционный полином Ньютона,

записанный через разделенные разности

– полином Ньютона

x	x1	x2	x3
y	y1	y2	y3

Разделенные разности первого порядка

Разделенные разности второго порядка

Дата добавления: 2014-01-06