Синусоидальные решетчатые функции

Рассмотрим свойства синусоидальных решетчатых функций x_s[n]=A×sin(wnT+j), образованных из производящих функций вида

x(t)=A×sin(wt+j).

Если период дискретности T и T₁=2p/w - соизмеримые числа, то последовательность x_s[n] - периодическая, в противном случае - непериодическая.

Амплитуда A - не обязательно максимальное значение последовательности, а лишь верхнее значение, которое может быть достигнуто. Например, если w=w_T=2p/T (период синусоидального сигнала равен периоду дискретности), то wnT=2pn и

x_s[n]=A×sinj=const.

В частности, при j=0 x_s[n]º0. Решетчатая функция не изменится, если заменить f=w/2p на f+kf_T, где k - целое, f_T=T^-1 - циклическая частота дискретности. Действительно,

.

Отсюда следует важный вывод:

В ДВ-системах невозможно различить две частоты, разность между которыми df=mf_T=m2p/T, m - целое.

Отсюда следует, что меняя частоту входного воздействия от нуля до w_T, можно фактически охватить весь диапазон частот входных сигналов ДВ-системы.

Более того, оказывается достаточно проводить исследования в диапазоне частот от нуля до w_T/2 (0 £ w £ w_T/2). Для того, чтобы показать это, определим две частоты входного сигнала симметрично относительно частоты w_T :

Покажем, что

Действительно,

Равенство очевидно.

Это означает, что входные сигналы одинаковой амплитуды, имеющие частоты симметричные относительно частоты w_T/2 после дискретизации с периодом T дают решетчатые функции, которые отличаются только знаком. Поэтому достаточно изучать свойства ДВ-систем на интервале частот от нуля до w_T/2.

Полученный результат аналогичен тому, что для исследования непрерывной системы достаточно изменять частоту w в интервале от нуля до +¥, вместо интервала от -¥ до +¥. При этом w®¥ для непрерывных систем соответствует w®p/T для дискретных систем.

Синусоидальная последовательность может быть записана в символической форме

x _s[n]= a ×e^jnwT,

где a =a×exp(jj) - комплексная амплитуда. Как и в непрерывном случае x_s[n]=Im(x _s[n]).

Вводя обозначение z=exp(jwT), получим

x _s[n]= a ×zⁿ.

Дата добавления: 2014-01-06