Размещения

Пример 4.1. На трех карточках написаны цифры 1, 2, 3. Сколько двузначных номеров можно из них составить?

Перечислим все возможные варианты двузначных номеров, которые можно составить из данных цифр: 12, 13, 21, 23, 31, 32 (числа 11, 22, 33 составить нельзя, т.к. в исходном наборе все цифры встречаются только по одному разу).

Переведем нашу задачу на язык комбинаторики. У нас есть исходное множество, содержащее 3 элемента (цифры 1, 2, 3). Число элементов исходного множества обозначим п.

Из элементов данного множества мы составляем наборы (двузначные числа) по 2 элемента. Число элементов в каждом возможном наборе обозначим т.

Смотрим, важен ли порядок элементов в каждом наборе. Например, возьмем набор цифр 1 и 2, получим число 12. Если мы изменим порядок цифр в наборе 1 и 2, получим число 21. 12 и 21 – разные числа, следовательно, порядок элементов в каждом наборе важен.

Такие выборки мы назовем размещениями.

Размещением из п элементов по т называются упорядоченный набор т элементов, выбранных из п элементов исходного множества.

Число размещений из п элементов по т обозначим

В нашем примере число возможных двузначных цифр можно найти как.

Для подсчета числа размещений используем основное правило комбинаторики. Если в множестве содержится п элементов, то первый элемент составляемого набора можно выбрать п способами, второй - п –1 способами (т.к. один элемент уже выбрали, и в исходном множестве осталось на один элемент меньше - п –1), и так т раз, пока не составим все элементы набора. Получаем

В нашем примере =. Действительно, мы смогли составить из набора цифр 1, 2, 3 ровно 6 двузначных чисел.

Пример 4.2. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами может определиться тройка призеров?

Решение. Переведем нашу задачу на язык комбинаторики. У нас есть исходное множество, содержащее 16 элементов (16 команд первенства России). Число элементов этого множества п = 16.

Из элементов данного множества мы составляем наборы (тройка призеров) по 3 элемента, следовательно, т = 3.

Смотрим, важен ли порядок элементов в каждом наборе. Например, возьмем набор команд Спартак, Динамо, Шинник. Это значит, что Спартак занял в чемпионате первое место, Динамо – второе, Шинник – третье. Если мы изменим порядок команд в наборе, получим совершенно другое распределение мест. Следовательно, порядок элементов в каждом наборе нам важен и мы имеем дело с размещениями из 16 по 3. Их число найдём как.

По формуле, имеем:

.

Ответ: тройка призеров в чемпионате России по футболу может определиться 3360 способами.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение размещения из п элементов по т.

2. Приведите формулу для расчёта числа размещений из п элементов по т.

3. Решите задачу: Из группы в 15 человек выбирают 4 участников эстафеты 800х400х200х100. Сколькими способами можно расставить этих спортсменов по этапам?

Дата добавления: 2014-01-06