Сочетания

ПЕРЕСТАНОВКИ

Пример 5.1. На урок физкультуры пришло 6 студентов. Сколькими способами их можно поставить в шеренгу?

Проанализируем задачу. Выделим исходное множество – 6 разных студентов, следовательно п = 6. Если требуется поставить в шеренгу все 6 человек, то мы будем составлять наборы по 6 элементов, т.е. т = 6.

Смотрим, важен ли порядок элементов в каждом наборе. Например, если мы поменяем местами первого и второго студента, то получим совершенно другой порядок построения, следовательно, порядок элементов в каждом наборе (шеренге) важен.

Следовательно, имеем дело с размещениями, число которых определяем как.

Размещения всех п элементов исходного множества называются перестановками. Их число обозначают и находят по формуле:

В нашем примере число способов равно Р ₆ = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720, значит 6 человек можно расставить в шеренгу 720 способами.

Пример 5.2. На рабочем столе пользователя компьютера находится 8 ярлыков. Сколькими способами он может разместить их в один столбец, если на первом месте он обязательно поставит значок «Internet Explorer»?

Решение. Выделим исходное множество – 8 ярлыков на рабочем столе. Но один ярлык - «Internet Explorer», уже размещен, следовательно, осталось разместить 7 ярлыков, значит, п = 7.

В этом примере мы имеем дело с размещениями всех 7 элементов, или с перестановками. Количество такох перестановок Р₇ находим по формуле:.

Тогда Р₇ = 7! = 1·2·3·4·5·6 ·7 = 5040.

Ответ: пользователь может разместить ярлыки на рабочем столе 5040 способами.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение перестановки из п элементов.

2. Приведите формулу для расчёта числа перестановок из п элементов.

3. Решите задачу: В магазин завезли 7 видов тортов. Сколькими способами их можно расположить на витрине?

Пример 6.1. В соревнованиях по футболу участвуют 4 команды: Шинник, Спартак, Динамо, Алания. Сколько матчей будет сыграно, если турнир, организован по круговой системе (каждый участник встречается с каждым 1 раз)?

Итак, исходное множество состоит из 4 элементов (участвуют 4 команды), значит п=4. Из элементов этого множества мы составляем пары команд, участвующих в турнире, значит т = 2. Перечислим возможные варианты: Ш-С, Ш-Д, Ш-А, С-Д, С-А, Д-А.

При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречается с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Пара Ш-С и С-Ш – одна и та же. Здесь мы имеем дело с сочетаниями.

Сочетанием из п элементов по т называют неупорядоченный набор т элементов из множества, содержащего п элементов.

Сочетания обозначают и находят по формуле:

Следовательно, в нашем примере по круговой системе потребуется провести встреч.

Пример 6.2. У одного студента есть 6 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги?

Решение. Первый студент должен выбрать из своих 6 книг две книги на обмен. Т.е. из исходного множества п = 6 составляем наборы по 2 элемента, т= 2. Смотрим, важен ли порядок в каждой выборке. Например, наборы Алгебра – Геометрия и Геометрия - Алгебра – одинаковые, значит, порядок элементов в каждой выборке не важен, и мы имеем дело с сочетаниями, число которых. По формуле найдём:

.

Аналогично второй студент должен выбрать из своих 9 книг две книги на обмен. Т.е. из исходного множества п = 9 составляем наборы по 2 элемента, т= 2, порядок элементов в каждой выборке не важен, и мы имеем дело с сочетаниями, числ которых. По формуле найдём:

.

Для обмена книгами нужно выполнить два действия, тогда по основному правилу комбинаторики общее число способов обмена будет

Ответ: 540 способов обмена книг существует.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение сочетания из п элементов по т.

2. Приведите формулу для расчёта числа сочетаний из п элементов по т.

3. Решите задачу: Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов, при которых в эту «пятёрку» попадут а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки; в) 1 юноша и 4 девушки?

Дата добавления: 2014-01-06