Вероятность события

Не А

И А, и В

Или А или В

ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в выполнении или события А, или события В.

W

Проиллюстрируем данное понятие с помощью диаграмм Эйлера. Пространство элементарных исходов Ω изобразим в виде прямоугольника, а события А и В будем рассматривать как подмножества пространства элементарных исходов.

Сумма интерпретируется как объединение

В

А

двух множеств: А+В

Например, испытание – подбрасывание

игральной кости, событие А - «выпадение 2»,

событие В – «выпадение 3», событие С – «выпадение четного числа очков».

Тогда А+В – «выпадение 2 или 3»,

А + С - «выпадение четного числа очков»,

В+С - «выпадение 2, 3, 4 или 6».

Произведением событий А и В называется такое событие D=A·B, которое происходит только в том случае, если события А и события В осуществляются одновременно.

W  

Произведение интерпретируется как пересечение

В

двух множеств: А·В

Если А и В – несовместные события, т.е. не могут произойти одновременно, то их пересечение пусто, и А·В – невозможное событие.

В том же примере А·В – невозможное событие, заключающееся в одновременном выпадении 2 и 3,

А·С - «выпадение 2»,

В·С - невозможное событие, заключающееся в одновременном выпадении четного числа очков и 3.

W Ā

Противоположным по отношению к событию А называется такое событие Ā, которое заключается в том, чтобы событие А не произошло.

А

Противоположное событие Ā интерпретируется как дополнение

множества А до Ω: Ā

В том же примере Ā – «невыпадение 2, т.е. выпадение 1, 3, 4, 5 или 6»,

событие – «невыпадение 3, т.е. выпадение 1, 2, 4, 5 или 6», событие – «выпадение нечетного числа очков».

Заметим, что А + Ā = Ω.

Контрольные вопросы:

1. Что называют суммой двух событий? Приведите примеры.

2. Что называют произведением двух событий? Приведите примеры.

3. Какое событие называют противоположным данному? Приведите примеры.

Каждое событие обладает определенной степенью возможности осуществления. Оценивая возможности исхода того или иного события, мы привыкли пользоваться словом «вероятность». Словосочетания типа «с вероятностью 50%» или «1 шанс из 2» или «50 на 50» мы воспринимаем спокойно и с полным пониманием. Даже не подбрасывая монету, мы сразу соглашаемся, что оба исхода – выпадение герба и решки – равновозможны, более того, мы даже готовы к оценке результата числом ½. Числовая мера степени объективной возможности события – это вероятность события.

Вероятностью события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию А (m), к числу всех элементарных исходов данного испытания (n).

Вероятность события А обозначают Р (А) и находят как.

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Свойства классической вероятности:

1. Если событие А – невозможное, то число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно нулю. Следовательно, m = 0 Р (А) = 0.

Итак, если событие А – невозможное, то Р (А) = 0 и наоборот, если вероятность какого-либо события равна 0, то это событие невозможное.

2. Если событие А – достоверное, то число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно числу всех возможных исходов n. Следовательно, m = n Р (А) = 1.

Итак, если событие А – достоверное, то Р (А) = 1 и наоборот, если вероятность какого-либо события равна 1. то это событие достоверное.

3. Число благоприятных исходов m никогда не превосходит число всех возможных исходов n (m ≤ n), следовательно. В силу того, что числа m и n неотрицательные, получим главное свойство вероятности:

0 ≤ Р (А) ≤ 1.

Пример 10.1. Игральную кость подбрасывают один раз. Найдите вероятности следующих событий: 1. А – появление «6»; В – появление четного числа очков; С – появления не менее 5 очков.

Решение: Воспользуемся формулой:. Для этого найдем значение m и n.

Опыт имеет 6 равновозможных независимых исходов (появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков), образующих полную систему событий, следовательно n = 6.

1. Событию А благоприятствует один исход – выпадение 2, значит m = 1. Тогда.

2. Событию В благоприятствует три исхода – выпадение 2, 4 или 6, значит m = 3. Тогда.

3. Событию С благоприятствует два исхода – выпадение 5 или 6, значит m = 2. Тогда.

Ответ:,,.

При вычислении вероятности событий часто приходится использовать формулы комбинаторики.

Пример 10.2. В компьютерном классе стоит 10 компьютеров. 10 студентов рассаживаются за ними случайным образом. Какова вероятность того, что Оля будет сидеть радом с Колей?

Решение. Выделим испытание - разместить 10 студентов у 10 компьютеров. Искомое событие А - Оля будет сидеть радом с Колей.

Воспользуемся формулой:. Для этого найдем значение m и n.

Всего возможных способов размещения 10 студентов у 10 компьютеров существует Р₁₀ = 10!, следовательно, n = 10!

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Раз Оля обязательно должна оказаться рядом с Колей, объединим их вместе. Получили пару Оля + Коля и еще 8 остальных студентов. Их можно рассадить в аудитории 9! способами. Внутри пары Олю и Колю также можно поменять местами, тогда благоприятных исходов m будет 2·9!

Следовательно,.

Ответ:

Пример 10.3. В корзине лежит 2 белых и 4 черных шара. Из нее случайным образом извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что

1. оба шара белые (событие А);

2. оба шара черные (событие В);

3. шары разного цвета (событие С);

4. шары одного цвета (событие D).

Решение 1 (классическое).

Воспользуемся формулой:. Для этого найдем значение m и n.

Наше испытание заключается в выборе двух шаров из корзины, содержащей 6 шаров. Следовательно, n – число всех возможных исходов - равно числу выборок из 6 по 2. Смотрим, важен ли порядок в каждой выборке. Например, выборка, содержащая белый и черный шар, совпадет с выборкой, содержащей черный и белый шар, следовательно, порядок в каждой выборке не важен, и мы имеем дело с сочетаниями.

1. Событие А заключается в том, чтобы достать ровно 2 белых шара, а их можно извлечь только из двух белых шаров, значит, число благоприятных исходов m равно =1. Тогда.

2. Событие В заключается в том, чтобы достать ровно 2 черных шара, а их можно извлечь только из четырех черных шаров, значит, число благоприятных исходов m равно. Тогда.

3. Событие С заключается в том, чтобы достать ровно 1 черный и 1 белый шар. Один черный шар можно извлечь из 4 черных способами, а один белый можно извлечь из двух белых шаров способами, значит, число благоприятных исходов m равно по основному правилу комбинаторики. Тогда.

4. Событие D заключается в том, чтобы достать шары одного цвета: или 2 черных, или 2 белых шара. Тогда число благоприятных исходов m равно. Следовательно,.

Ответ:,,,.

Контрольные вопросы:

1. Дайте классическое определение вероятности события.

2. Перечислите основные свойства вероятности события.

3. Решите задачу: Из колоды в 36 карт извлекают 4. Какова вероятность того, что все извлечённые карты масти вини?

Дата добавления: 2014-01-06