Метод графов в решении вероятностных задач

Решение многих вопросов и задач теории вероятностей можно проиллюстрировать с помощью графов, что позволяет сделать рассматриваемый материал более наглядным и доступным.

Граф является наглядной иллюстрацией проводимого испытания. Его точное определение можно найти в дискретной математике.

Граф имеет следующую структуру:

начало исходы

На каждом ребре графа проставляют вероятность соответствующего исхода.

Пример 11.1. Постройте граф для испытания, заключающегося в двух подбрасываниях монеты на твердую поверхность.

Решение. Поскольку каждое подбрасывание монеты может закончиться одним из двух исходов, а именно, выпадением «герба» или «решки», то граф выглядит следующим образом:

½ 1-й раз 2-й раз	Исходы:	Вероятность:
Г Р Г Р Г Р	ГГ	¼
½ ½ ½	ГР	¼
½ ½	РГ	¼
	РР	¼

При подсчете вероятностей будем пользоваться следующими правилами:

1. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, должна быть равна единице.

2. Вероятность попадания из начальной вершины графа в конечную (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречающиеся на ребрах графа.

Так, вероятность исхода «ГГ» равна.

3. Если нужно вычислить вероятность события, которому благоприятствует несколько исходов, то вероятности этих исходов складываются.

Так, вероятность события А – выпадение хотя бы одного герба при двух подбрасываниях монеты – будет складываться из суммы вероятностей исходов «ГГ», «ГР» и «РГ»:

Решим пример 10.3 из предыдущего параграфа методом графов:

Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов.

Расставим вероятности на ребрах графа. При извлечении первого шара вероятность достать белый шар равна (в корзине из 6 шаров 2 белых), а черный - (в корзине из 6 шаров 4 черных).

Когда мы извлекаем второй шар, в корзине уже осталось 5 шаров. Если первый шар был белый, то в корзине осталось 4 черных и 1 белый шар, следовательно, вероятность достать белый шар равна, а черный -. Если первый был извлечен черный шар, то в корзине осталось 3 черных и 2 белых шара, следовательно, вероятность достать белый шар равна, а черный -.

Проверим, верно ли мы расставили вероятности. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, равна 1, следовательно, все сделали верно.

В колонке «исходы» получили все возможные исходы данного испытания. Для вычисления вероятности каждого исхода, необходимо перемножить вероятности на рёбрах графа.

1-й шар	2-й шар	исходы	вероятность
		= Р(А)     + = Р(С)     = Р(В)

По графу легко определить вероятности событий А (извлечь 2 белых шара) и В (извлечь 2 черных шара). Для нахождения вероятности события С (извлечь шары разного цвета) необходимо сложить вероятности второго и третьего исходов. Для нахождения вероятности события D (извлечь шары одного цвета) необходимо сложить вероятности первого и четвертого исходов:.

Ответ:,,,.

Б. Паскаль

Используя метод графов, попробуйте самостоятельно решить историческую задачу де Мере. Перенесёмся во Францию, первую половину XVII века. Известный, т.е. опытный и азартный, игрок шевалье де Мере обращается к Блезу Паскалю с просьбой помочь ему в разрешении двух вопросов. Паскаль, ознакомившись с вопросами, соглашается подумать над ними. И довольно скоро находит ответ.

В практике азартных игр довольно часто возникали ситуации, попытки разобраться с которыми приводили к жарким спорам и даже дуэлям. Вопросы де Мере были именно такого свойства.

Двое играют в «орлянку» до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй – три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?

Контрольные вопросы:

1. Какую структуру имеет граф в теории вероятностей?

2. Перечислите основные правила, используемые в практике работы с графами.

3. Решите задачу методом графов: В вагон погрузили 12 одинаковых с виду ящиков с фруктами: 7 с апельсинами и 5 с грушами. В качестве подарка два случайным образом выбранные ящика отвезли в детский сад. Какова вероятность, что детишкам досталось и яблоки, и груши?

Дата добавления: 2014-01-06