Понятие и закон распределения дискретной случайной величины

Рассмотрим опыт: подбрасываем две монеты. Тогда случайными событиями, связанными с этим опытом, могут быть выпадение двух гербов, выпадение по крайней мере одного герба, выпадение двух решек и т.д. Это качественные характеристики опыта.

Попробуем ответить на вопрос: а сколько монет при двух бросках упадет гербом вверх?

Ответом на этот вопрос будет несколько значений: или 2 монеты, или 1, или ни одной.

Величину, которая в результате опыта принимает только одно, зависящее от случая, числовое значение, назовем случайной величиной.

Случайные величины обозначаются большими латинскими буквами (X, Y, Z), а их возможные числовые значения – маленькими латинскими буквами (x, y, z).

Так в нашем примере случайная величина Х - число выпавших гербов, а ее возможные значения х ₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2.

Случайная величина называется дискретной, если в результате опыта она принимает числовые значения, которые можно перечислить или поставить им в соответствие элементы счётного множества.

В нашем примере случайная величина Х является дискретной, т.к. все ее значения можно перечислить (0, 1, 2). В этом разделе мы будем изучать дискретные случайные величины (ДСВ). Примерами ДСВ могут служить число попаданий в цель при трех выстрелах, число бракованных деталей среди партии в 100 единиц.

Для описания дискретной случайной величины просто перечислить её значения недостаточно. Желательно для каждого значения найти соответствующую вероятность.

Вероятность того, что случайная величина Х примет то или иное значение а обозначают Р(Х=а). Так, в нашем примере Р(Х=0)=, Р(Х=1)=, Р(Х=2)=.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и ее вероятностями называют законом распределения случайной величины и записывают в виде таблицы:

Х	х 1	х 2	…	хn	…
Р	p 1	p 2	…	pn	…

где в верхней строчке написаны значения случайной величины, а в нижней – под каждым x_i – вероятности p_i. Заметим, что события x₁, x₂,… x_n образуют полную систему событий, поэтому сумма вероятностей в нижней строке всегда равна 1:

В нашем примере закон распределения случайной величины Х будет иметь вид:

Х
Р

Сумма вероятностей в нижней строке.

Для нахождения вероятности каждого значения случайной величины необходимо привлекать математический аппарат из главы 2 «Основы теории вероятностей».

Графическим изображением закона распределения ДСВ является многоугольник распределения - множество точек с координатами (х₁; р₁), (х₂; р₂)… (х_п; р_п)…, последовательно соединенных отрезками.

Для нашего примера многоугольник распределения имеет вид:

х

у

Пример 18.1. В стопке лежат 10 тетрадей с одинаковой обложкой, 4 из которых в линейку, остальные – в клетку. Саша наугад вынимает 2 тетради. Составьте закон распределения числа выбранных тетрадей в клетку.

Решение. Итак, испытание – выбор двух тетрадей из 20 (4 в линейку, 16 в клетку).

Случайная величина Х - число выбранных тетрадей в клетку.

Построим граф для данного испытания:

К

К

Л

К

Л

Л

Х

На рёбрах графа, ведущих к случайной величине Х, расставляем значения, которые принимает случайная величина при каждом исходе: выбрано 2 тетради в клетку (x₁=2), одна тетрадь в клетку (x₂ = 1), ни одной тетради в клетку (x₃ = 0).

С помощью графа найдем вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное числовое значение:

Р(Х = 2) =, Р(Х = 1) =,

Р(Х = 0) =.

Тогда искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:

Х
Р

Проверим сумму вероятностей в нижней строке:.

Пример 18.2. Постройте граф и составьте закон распределения для числа подбрасывания монеты до появления «герба».

Решение. Пусть случайная величина Х - число подбрасываний монеты до появления «герба». Она может принимать значения 1, 2, 3 и т.д. все значения из множества натуральных чисел. Тогда искомый граф распределения случайной величины выглядит следующим образом:

Искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:

Х				…	n	…
Р				…		…

Проверим сумму вероятностей в нижней строке:

Заметим, что перед нами бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом прогрессии а _{1 =} и знаменателем q =. Используя формулу суммы убывающей геометрической прогрессии, убеждаемся, что

Это пример бесконечной дискретной случайной величины.

Контрольные вопросы:

1. Что называют случайной величиной?

2. Какую случайную величину называют дискретной?

3. Чем задаётся любая дискретная случайная величина?

4. Каким свойством обладают вероятности значений дискретной случайной величины?

5. Дайте определение многоугольника распределения. Каково его назначение?

6. Решите задачу: Составьте закон распределения для суммы очков, выпадающих на двух игральных костях.

Дата добавления: 2014-01-06