II. Дисперсия

I. Математическое ожидание

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Кроме закона распределения, который дает полное представление о случайной величине, часто используют числа, которые характеризуют случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К ним относят:

1. Математическое ожидание.

2. Дисперсию.

3. Среднеквадратическое отклонение.

Математическим ожиданием M(X) называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины (х_i) на соответствующие вероятности (р_i):

M(X) = х₁·р₁ + х₂·р₂+…+ х_n·р_n

Математическое ожидание – это число, которое указывает, какое среднеезначение случайной величины следует ожидать в результате проведения опыта или испытания.

Происхождение самого термина «математическое ожидание» связано с началом возникновения теории вероятностей (XVII век), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока всегда интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, т.е. математическое ожидание.

Отметим некоторые свойства математического ожидания:

M (C) = C, где С – const;

M (C · X) = C · M (X);

M (X ± Y) = M (X) ± M (Y);

M (X·Y) = M (X) · M (Y), где Х и Y - независимые с.в.

Пример 20.1. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:

Х	-5
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

Найдите математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. По формуле M(X) = х₁·р₁ + х₂·р₂+…+ х_n·р_n находим

М(Х) = -5·0,1 + 0·0,2 + 2·0,3 + 6·0,4 = -0,5 + 0,6 + 2,4 = 2,5.

Ответ: M(X) = 2,5.

Попробуйте самостоятельно решить интереснейшую вероятностную задачу, получившую название Санкт-Петербургский парадокс:

Предполагается установить приз за выпадение решки при первом подбрасывании монеты 2$, при втором - 4$, при третьем – 8$, четвертом - 16$ и т.д. (приз каждый раз удваивается). Сколько следует заплатить игроку за участие в игре, чтобы игра была безобидной?

Подумайте, почему задача получила такое название – парадокс?

Указание: введите случайную величину Х - сумма возможного выигрыша игрока. Составьте граф, а потом закон распределения для Х. Найдите М(Х) – средний выигрыш, для безобидной игры он совпадает с величиной вступительного взноса. Удачи!

Пусть два орудия ведут стрельбу по цели, находящейся на расстоянии 1000 метров. Первое орудие произвело два выстрела на расстояние 900 и 1100 метров, а второе – на 999 и 1001 метр. Какое орудие стреляет точнее?

Если мы найдем среднее значение расстояния от орудия до точки попадания (математическое ожидание), то для первого орудия оно равно (м), а для второго орудия (м). Мы получили одинаковые числа. Но ведь очевидно, что второе орудие стреляет точнее.

Таким образом, математическое ожидание полностью не характеризует случайную величину. На практике часто требуется оценить степень рассеяния значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

900 среднее 1100 999 сред.1001

Попробуем найти отклонения значений случайной величины от среднего значения (х – М(Х)). Получим для первого орудия отклонения –100 и 100, а для второго –1 и 1.

Найдем средние значения отклонений: для первого и для второго орудия. Средние среди отклонений получились равны 0, таким образом они не дают нам полной характеристики рассматриваемых процессов.

Но если заменить отклонения их квадратами, то средние значения квадрата отклонений: для первого и для второго будут характеризовать степень отклонения значений величины от среднего значения. Такую числовую величину мы и назовем дисперсией.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонений от среднего значения:

Для вычисления D (X) удобна следующая формула:

D(X) = M(X²) - M²(X),

где M(X²) = х₁²·р₁ + х₂²·р₂+…+ х_n²·р_n

Еще раз подчеркнем, что дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения.

Дата добавления: 2014-01-06