I. Биномиальный закон распределения

В теории ДСВ выделяют два особых вида распределения, каждый из которых связан с повторными независимыми испытаниями.

III. Среднеквадратическое отклонение

Дисперсия всегда является положительным числом.

Свойства дисперсии:

D (C) = 0, где C – const;

D (CּX) = C ּ D (X);

D (X ± Y) = D (X) + D (Y), если Х, Y – независимые с.в.

В примере 20.1 закон распределения случайной величины задан таблицей:

Х	-5
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

Найдем дисперсию случайной величины Х.

Решение. Воспользуемся формулой: D(X) = M(X²) - M²(X), для этого возьмем значение математического ожидания из пункта 1: М(Х) = 2,5, а

M(X²) вычислим по формуле: M(X²) = х₁²·р₁ + х₂²·р₂+…+ х_n²·р_n.

M(X²) = ( -5)²·0,1 + 0²·0,2 + 2²·0,3 + 6²·0,4 = 2,5 + 1,2 + 14,4 = 18,1.

Тогда D(X) = M(X²) - M²(X)= 18,1 – 2,5² = 18,1 – 6,25 = 11,85

Ответ: D(X) = 11,85.

В практике дисперсия служит для оценки мера риска, например, при выборе инвестиционных проектов. Если для двух инвестиционных проектов средняя прибыльность (математическое ожидание) одинаковое, то выбирают тот проект, где дисперсия (а, следовательно, и риск) меньше.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины: если ДСВ имеет размерность метры, то дисперсия измеряется в м². Для того, чтобы оценка рассеяния значений случайной величины имела размерность самой величины, вычисляют среднеквадратичное отклонение.

Положительное значение квадратного корня из дисперсии называют среднеквадратическим отклонением (или стандартным отклонением):

В примере 20.1 закон распределения случайной величины задан таблицей:

Х	-5
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

Найдите среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение. Воспользуемся формулой:

Возьмем значение дисперсии из примера пункта 2: D(X) = 11,85.

Тогда =.

Ответ: σ(X) = 11,85.

Контрольные вопросы:

1. Обоснуйте необходимовть нахождения числовых характеристик случайной величины.

2. Что называют математическим ожиданием ДСВ? В каких единицах оно измеряется? Что оно характеризует?

3. Перечислите свойства М(Х).

4. Что называют дисперсией ДСВ? В каких единицах она измеряется? Что она характеризует? Может ли дисперсия быть отрицательной?

5. Перечислите свойства D(Х).

6. Что называют среднеквадратическим отклонением ДСВ? В каких единицах оно измеряется? Что оно характеризует?

7. Решите задачу: Прибыльность двух инвестиционных проектов Х, Y (млн. руб) задана законами распределения:

Х	-1				Y	-5
Р	0,2	0,6	0,2		Р	0,4	0,5	0,1

Какой инвестиционный проект целесообразно выбрать для реализации?

§ 21. КЛАССИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Будем проводить серию повторных независимых испытаний, всего n. Пусть случайная величина Х – число успехов в серии из n испытаний. Она может принимать значения 0, 1, 2… n. Вероятность того, что в n испытаниях успех наступит ровно m раз, рассчитывается по формуле Бернулли, где р – вероятность успеха в одном испытании, q – вероятность неудачи.

В этом случае закон распределения случайной величины Х называют биномиальным распределением. Такое название связано с тем, что коэффициенты, которые встречаются в формуле Бернулли, такие же, как и в биноме Ньютона.

Пример 21.1. Студент, работая в Internet, по системе поиска нашел ссылки на 3 сайта, в каждом из которых может быть полезная для него информация с вероятностью 0,6. Составьте закон распределения числа сайтов с полезной для студента информацией. На скольких в среднем сайтах он найдет полезную для себя информацию? Найдите дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение. Пусть случайная величина Х - число сайтов с полезной для студента информацией. Она принимает значения 0, 1, 2 или 3.

Имеем серию повторных независимых испытаний, n = 3. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6, вероятность неудачи q = 1-0,6 = 0,4.

По формуле Бернулли, следовательно,

Тогда искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:

Х
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

Проверим сумму вероятностей в нижней строке:

0,064+0,288+0,432+0,216=1.

Найдем математическое ожидание:

М(Х) = 0·0,064 + 1·0,288 + 2·0,432 + 3·0,216 = 0,288 + 0,864 + 0,648 = 1,8, т.е. в среднем студент найдет полезную информацию на двух сайтах.

Есть более простые формулы для расчета математического ожидания и дисперсии при биномиальном распределении:

Так, в нашем примере М(Х) = 3·0,6 = 1,8,

D(Х) = 3·0,6·0,4 = 0,72

σ (Х) =.

Ответ: М(Х) = 1,8, D(Х) = 0,72, σ(X) = 0,85.

Дата добавления: 2014-01-06