Непрерывные случайные величины

В предыдущем разделе мы изучали такие случайные величины, все значения которых можно перечислить: количество попаданий по мишени при трех выстрелах, количество выпадений герба при трех подбрасываниях монеты. Такие случайные величины мы назвали дискретными.

Представим себе такую ситуацию: в случайный момент времени мы пришли на остановку автобуса, который ходит с интервалом 10 минут. Пусть случайная величина Х – время ожидания автобуса. Посмотрим, какие значения она может принимать. Мы можем сразу сесть в автобус, тогда время ожидания Х = 0, можем подождать несколько секунд или минут, но самое большое время ожидания – 10 минут (если предыдущий автобус закрыл дверь у нас «перед носом»). Видим, что все значения случайной величины перечислить невозможно, но все они принадлежат промежутку [0; 10]. Такую случайную величину назовем непрерывной.

Случайная величина, принимающая все значения из некоторого интервала (их нельзя перечислить) называется непрерывной случайной величиной (НСВ).

Рассмотрим другие примеры непрерывных случайных величин:

1. Х ₁ – расстояние от центра мишени до точки попадания, значения данной случайной величины х _{1 i}.

2. Х ₂ – интервал между появлением машин на автозаправочной станции, значения случайной величины х _{2 i}.

Встает вопрос: как охарактеризовать данную случайную величину? Дискретная случайная величина характеризовалась законом распределения. Попытаемся и для непрерывной случайной величины ее значениям сопоставить соответствующую вероятность. Так в примере про ожидание автобуса найдем вероятность события А, заключающегося в том, что автобус придет ровно через 2 минуты.

Воспользуемся классическим определением вероятности Р(А) =.

Найдем значения m и n. Общее число исходов равно числу всех возможных значений времени ожидания, т.е. фактически числу точек на промежутке [0; 10], а их число стремится к бесконечности! Таким образом, n→∞.

Число благоприятных исходов m = 1, т.к. по условию задачи автобус должен прийти ровно через 2 минуты, а такая точка на отрезке [0; 10] одна.

Получили, что Р(А) = = 0.

Итак, вероятность того, что автобус придет ровно через минуту, равна нулю. Аналогично, вероятности того, что автобус придет в любое наперед заданное время из промежутка [0; 10], тоже равны нулю! Получается, что автобус никогда не приедет? Но ведь это не так! Почему же возникла такая ситуация? Правомерно ли применение в этой задаче классической формулы вероятности события? На эти вопросы мы ответим при изучении следующего параграфа «Геометрические вероятности».

Контрольные вопросы:

1. Какую случайную величину называют непрерывной? Приведите примеры непрерывных случайных величин.

2. Чему равна вероятность каждого отдельного значения НСВ?

Дата добавления: 2014-01-06