Геометрические вероятности

Необходимость введения геометрической вероятности возникла в связи с тем, что у испытания может быть бесконечное количество элементарных исходов. В этом случае нельзя использовать классическую формулу определения вероятности Р(А) =.

В геометрическом подходе вероятности трактуются как «доли» множества всех элементарных исходов.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области исходов Ω:

Если мы работаем на числовой прямой, то «мерой» будет являться длина отрезка. Немного изменим пример, рассмотренный в предыдущем параграфе:

Пример 23.1. Найдите вероятность того, что вы будете ожидать автобус не более двух минут, если интервал движения автобуса 10 минут.

Решение. Испытание – ожидание автобуса с интервалом движения 10 минут.

Пусть событие А – ожидать автобус не более двух минут.

Тогда пространство элементарных исходов – все значения из отрезка [0; 10], а мерой этого отрезка является его длина, равная 10, значит l _Ω = 10.

Множество всех благоприятных исходов совпадает со значениями из отрезка [0; 2], его мерой также является длина, равная 2, следовательно, l_А = 2.

По формуле геометрической вероятности получим

Р (А) = = 2/10 = 0,2.

Ответ: Р (А) = 0,2.

Что же касается времени ожидания, равного ровно двум минутам, то событию А благоприятствует одна точка, и ее мера равна нулю. Значит, действительно, вероятность того, что автобус придет в одно точно заданное значение времени, равна нулю. Такую вероятность мы находить не будем, а будем искать вероятность попадания значений в некоторый интервал.

Пример 23.2. На острове пираты зарыли клад. Искатели сокровищ точно знают, что клад надо искать на этом острове, но не знают, в каком месте зарыт клад. Они определили место для поисков в форме квадрата со стороной 10 метров. Какова вероятность того, что они найдут клад, если площадь острова 1000м²?

Решение. Испытание – поиск клада на острове площадью 1000м². Событие А – найти клад на выбранном участке.

Решение данной задачи будем рассматривать уже на плоскости, а мерой на плоскости является площадь.

А

Пространство элементарных исходов – все точки из области Ω, её мерой является площадь, равная 1000 м², значит, S _Ω = 1000.

Множество всех благоприятных исходов совпадает с точками, расположенными внутри квадрата, его мерой также является площадь, равная 10² м², следовательно, S_А = 100 м².

По формуле геометрической вероятности получим: Р (А) = = 100/1000 = 0,1.

Ответ: Р (А) = 0,1.

Итак, классическое определение вероятности случайного события предполагает конечное число всех исходов испытания. Но часто встречаются такие испытания, для которых число возможных исходов бесконечно. В этом случае, если позволяют обстоятельства, используют понятие геометрической вероятности. При этом рассматриваемый объект представляется в виде точки либо на прямой, либо на плоскости, либо в пространстве.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение геометрической вероятности события.

2. В каких случаях применяют классическое определение вероятности, а в каких - геометрическое?

3. Решите задачу: На квадратном листе картона со стороной 20 см гадалка расположила два частично перекрывающихся круга: красный и черный. Диаметр красного круга равен 12 см, черного – 8 см, общая часть имеет площадь 10 см². Найдите вероятность того, что бросив наугад зерно, гадалка попадет а) внутрь красного круга, б) вне красного круга, в) внутрь черного круга, г) вне кругов, д) в любой из кругов, е) в общую часть кругов.

Дата добавления: 2014-01-06