IV. Медиана

III. Среднеквадратическое отклонение

II. Дисперсия

I. Математическое ожидание

ЧИСЛОВЫЕХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Числовыми характеристиками непрерывной случайной величины, как и дискретной, являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Математическое ожидание указывает, какое среднеезначение случайной величины следует ожидать в результате проведения испытания. Математическим ожиданием дискретной случайной величины мы назвали сумму произведений всех возможных значений случайной величины (х_i) на соответствующие вероятности (р_i): M(X) = х₁·р₁ + х₂·р₂+…+ х_n·р_n.

Что же изменится в случае непрерывной случайной величины? Запишем M(X) для ДСВ по-другому, используя значок суммы: M(X) =.

Теперь воспользуемся уже знакомыми нам аналогиями:

ДСВ	НСВ
рi	f(х)
	∫

Тогда математическим ожиданием НСВ называют число где f (x) – функция плотности вероятности.

Так же, как и для ДСВ, математическое ожидание НСВ характеризует среднее значение.

Найдем математическое ожидание в примере 24.1.

Мы нашли, что. Тогда по определению

следовательно (т.к. при f (x) = 0 крайние интегралы равны нулю:),

.

Ответ:

Дисперсия НСВ, как и ДСВ, характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонений от среднего значения. Это определение сохраняется и для НСВ, как и формула для вычисления дисперсии:

D(X) = M(X²) - M²(X),

Меняется лишь правило нахождения M(X²).

Для ДСВ M(X²) = х₁²·р₁ + х₂²·р₂+…+ х_n²·р_n =. В соответствии с нашими аналогиями, формула для расчета M(X²) у НСВ будет иметь вид:.

Найдем дисперсию в примере 24.1.

По формуле D(X) = M(X²) - M²(X), где.

Тогда

Получили, что D (X) = =.

Ответ: D (X) =

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для того, чтобы оценка рассеяния значений случайной величины имела размерность самой величины, вычисляют среднеквадратическое отклонение.

Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением (или стандартным отклонением) как для ДСВ, так и для НСВ:

Так в примере 24.1. среднеквадратическое отклонение

Ответ:

Рассмотрим еще одну важную числовую характеристику НСВ – медиану.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение М_е, что P { X < M_e } = P { X > M_e }. Это означает, что вероятность осуществления события до M_e равна вероятности осуществления события после M_e, и, следовательно, равна ½ (сумма вероятностей для всех значений случайной величины всегда равна 1).

Попытаемся вывести формулу для расчета медианы. По определению интегральной функции распределения F (x) = P { X < x }, тогда P { X < M_e } = F ( M_e ) = ½.

Найдем медиану в примере 24.1.

Поскольку F(х)=, а F (M_e) = ½, получим уравнение:

х² =; х =. Нам подойдет только одно значение корня – положительное, поскольку функция принимает положительные значения лишь при х, принадлежащих промежутку от 0 до 1.

Тогда M_e =, M_e ≈ 0,7.

Ответ: M_e =

Если на чертеже провести прямую х = M_e, она разделит площадь под кривой у = f (x) на две равные части.

Так, если в нашем примере на чертеже провести прямую х =, она разделит исходный прямоугольный треугольник на две фигуры (треугольник и трапецию), имеющие одинаковые площади:

S₂

S₁

2

1

0,7

у=f(х)

х

S₁= S₂

Контрольные вопросы:

1. Обоснуйте необходимовть нахождения числовых характеристик случайной величины.

2. Что называют математическим ожиданием НСВ? В каких единицах оно измеряется? Что оно характеризует?

3. Что называют дисперсией НСВ? В каких единицах она измеряется? Что она характеризует? Может ли дисперсия быть отрицательной?

4. Что называют среднеквадратическим отклонением НСВ? В каких единицах оно измеряется? Что оно характеризует?

5. Что называют медианой НСВ? В каких единицах она измеряется? Какова формула для расчёта медианы? Как изабразить медиану на графиках у = f (x) и у = F (x)?

6. Решите задачу: Интегральная функция распределения задана выражением:

F(х)=. Докажите корректность задания НСВ, найдите f(х), Р( 0,5 1 ), М(Х), D(X), σ(Х), М_е.

Дата добавления: 2014-01-06