Нормальный закон распределения

III. Нормальное распределение

Это распределение является одним из важнейших распределений в теории вероятностей, его рассмотрению мы посвятим целый параграф (§27).

Контрольные вопросы:

1. Какое распределение называют равномерным? Приведите пример НСВ, распределённой по равномерному закону. С чем связано такое название закона распределения?

2. Приведите формулы для расчёта М(Х), D(Х), σ(X), М_е при равномерном распределении.

3. Какое распределение называют показательным? Приведите пример НСВ, распределённой по показательному закону. С чем связано такое название закона распределения?

4. Приведите формулы для расчёта М(Х), D(Х), σ(X) при показательном распределении.

5. Решите задачу: Вращаем рулетку в интеллектуальном казино. Случайная величина Х – угол, образованный стрелкой и сектором «зеро». Определите, на каком промежутке распределена случайная величина Х. Составьте функцию плотности вероятности f(х), найдите вероятность того, что стрелка отклонится от сектора «зеро» не более чем на 90^о в обе стороны. Найдите М(Х), D(Х), σ(X).

В начале XIX века нормальное распределение затмило собой все остальные. В чем же тут дело? Оказывается, что нормальное распределение - самое распространенное распределение в мире. Чтобы убедиться в этом, возьмем статистические данные начала ХХ века об исследованиях роста, проведенных среди 1000 женщин:

рост (см)

число женщин

Отметим точки в системе координат и соединим их плавной линией:

Если исследованию подвергнуть не тысячу, а миллион женщин, и исследования приводить с большей точностью, то график представлял бы собой практически сплошную линию и был бы очень похож на график плотности вероятности нормального распределения.

Заслуга открытия нормального распределения принадлежит Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855), в работах Гаусса и Лежандра утверждалось о нормальном законе распределения ошибок наблюдений.

К. Гаусс

И не только ошибки наблюдений распределены по нормальному закону: вес взрослой щуки в реке Солонице, скорость полета бабочки-капустницы, обитающей на огородах Ярославской области, объем молока в пакетах с маркировкой 1 литр, рост и вес новорожденных – все это примеры случайных величин с распределением, близким к нормальному.

Нормальным распределением (или распределением Гаусса) называется такое распределение, которое задается функцией плотности вероятности вида где а, σ – параметры.

График f (х) имеет вид:

у

y = f (x)

0 а - σ а а + σ х

x ₁ = а – σ, x ₂ = а + σ – точки перегиба кривой y = f (x).

Что же задают параметры а и σ? Параметр а - математические ожидание случайной величины, точка максимума функции y = f (x). При нормальном распределении значения случайной величины вблизи а расположены очень плотно; чем дальше от среднего будут располагаться значения случайной величины, тем плотность из значительно ниже. Кривая Гаусса симметрична относительно прямой x = а.

Параметр σ – среднее квадратичное отклонение, характеризует ширину кривой. Пи фиксированном математическом ожидании можно утверждать, что чем σ больше, тем разброс значений случайной величины больше, соответственно кривая шире, расплывчатей и ниже (площадь под кривой всегда равна 1).

у σ уменьшается

y = f (x)

σ увеличивается

0 а х

На графике сплошной линией показана исходная кривая, пунктирной – кривая при увеличении параметра σ, линия в виде точек – при уменьшении σ.

Таким образом, нормальное распределение полностью задается с помощью всего двух параметров: а и σ, причем

Существует формула, помогающая найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (α; β) для нормального распределения:

Р (α< x <β) =, где Ф(х) – табличная функция Лапласа, причем Ф(-х) = -Ф(х).

Пример 27.1. Автомат штампует детали. Контролируемая ширина детали Х распределена нормально с математическим ожиданием (проектной длиной) 50мм. Известно, что среднее квадратичное отклонение длины детали 3,6 мм. Найдите вероятность того, что длина наудачу взятой детали находится в границах от 48 до 55 мм.

Решение. Выделим параметры нормального распределения: а = 50 мм, σ = 3,6 мм. Найдем Р (48< x <55), т.е. α = 48 мм, β = 55 мм.

Воспользуемся формулой: Р (α< x <β) =.

Найдем =,

=.

Тогда Р (48< x <55) = = 0,4177-(-0,2123) = 0,63.

Ответ: Р (48< x <55) = 0,63

Если интервал (α;β) симметричен относительно математического ожидания, т. е. α =а–ε, β= а+ε, то

а–ε а а+ε х

Р (α <x< β) = Р (а–ε < x < а+ε) = = =2, или

Р (а–ε < x < а+ε) = 2

Еще одно важнейшее правило нормального закона распределения - правило трех сигм.

Если в качестве ε в формулу Р (а–ε < x < а+ε) = 2 подставлять последовательно значения σ, 2σ, 3σ, то получим следующие вероятности:

Видим, что вероятность 0,998 близка к 1, т.е. можно считать практически достоверным, что значения случайной величины, распределенной по нормальному закону, принадлежат интервалу (a – 3 σ, a + 3 σ) - правило трех сигм.

Пример 27.2. Случайная величина Х – рост взрослого мужчины – распределена нормально со средним значением 175 см и практически измеряется в пределах 145 – 205 см. Какое количество мужчин из 500 имеют, вероятно, рост 155 – 185 см?

Решение. Выделим параметры нормального распределения: а = 175 см. Кроме того, нам известно, что рост мужчин измеряется в пределах 145 – 205 см. По правилу трех сигм значения нормально распределенной случайной величины принадлежат интервалу (a – 3 σ, a + 3 σ). Значения 145 см и 205 см отклоняются от среднего (175 см) на 30 см, следовательно, 3 σ = 30 см, σ = 10 см. Найдем вероятность того, что случайная величина Х принимает значения от 155 до 185 см, т.е. Р (155< x <185).

Воспользуемся формулой: Р (α< x <β)=, где α=155, β=185.

Найдем =,

=.

Тогда Р (155< x <185) = = 0,3413-(-0,4772) = 0,8185.

Для нахождения наиболее вероятного числа мужчин из 500, имеющих рост 155–185 см, умножим заданное число мужчин на вероятность иметь соответствующий рост: 500∙0,8185 = 409,25. Итак, округляя до целого числа, получаем, что из 500 мужчин имеют, вероятно, рост 155–185 см, 409 человек.

Ответ: из 500 мужчин имеют, вероятно, рост 155–185 см, 409 человек.

Контрольные вопросы:

1. Какое распределение называют нормальным? Приведите пример НСВ, распределённой по нормальному закону.

2. Какая кривая является наглядной иллюстрацией нормального закона распределения? Чем являются для данного распределения точка максимума и абсциссы точек перегиба функции?

3. С какими параметрами совпадают М(Х), D(Х), σ(X) при нормальном распределении?

4. Приведите формулу для нахождения вероятности попадания значений случайной величины в интервал (α; β) при нормальном распределении.

5. Сформулируйте правило трёх сигм.

6. Решите задачу: Известно, что вес яблок данного сорта подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием М(Х) =175г, σ (Х)=25г. Найдите вероятность того, что вес наудачу взятого плода а) от 125 до 270г, б) не менее 250г.

Глава V. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то одно общее правило или закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, помогающих установить взаимосвязь между случайностью и необходимостью.

Дата добавления: 2014-01-06