II. Показательное распределение

I. Равномерное распределение

В теории НСВ выделяют три особых вида распределения.

ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Распределение будем считать равномерным, если по условиям проведения опыта непрерывная случайная величина Х принимает значения из промежутка [ a; b ], причем все эти значения возможны в одинаковой степени, ни одно не имеет преимуществ перед другими.

Пример 26.1. Случайная величина Х – время ожидания автобуса, интервал движения которого равен 10 минут – распределена равномерно на [0; 10].

Дадим точное определение равномерного распределения.

Распределение вероятностей называется равномерным на промежутке [ a;b ], если оно задается функцией плотности вероятности вида:

.

Тогда в примере 26.1 с автобусом a= 0, b= 10, и функция плотности вероятности будет иметь вид:

.

Пользуясь данной функцией, найдем вероятность события А - время ожидания автобуса на остановке будет не более двух минут. Для расчетов воспользуемся формулой:.

Итак,, что согласуется с решением задачи, проведенным с использованием геометрического определения вероятности.

Найдем интегральную функцию распределения для данной задачи:

Воспользуемся формулой:

Поскольку функция у = f(х) состоит из трех частей, для каждой части будем применять данную формулу:

1. при х < 0

2. при 0 ≤ х ≤10

3. при х > 10

Получили, что F(х) имеет вид:

F(х)=, что согласуется с определением и свойствами F(х).

Построим графики F(х) и f (x) (их вид будет одинаков для любой случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [ a;b ]: график функции F(х) непрерывен и состоит из прямой у =0 для х<a, прямой у =1 для х>b, и отрезка, соединяющего точки (a;0) и (b; 1); график функции f(х) состоит из прямой у =0 для х<a и х>b, отрезка прямой у = для a ≤ х≤ b).

1/10

10

у=f(х)

х

у=F(х)

х

Найдем математическое ожидание, медиану, дисперсию и среднее квадратичное отклонение для равномерного распределения.

.

Очевидно, что среднее значение для равномерно распределенной случайной величины совпадает с серединой отрезка [ a;b ], в нашем примере

, т.е. среднее время ожидания автобуса 5 минут.

Для остальных числовых характеристик равномерной НСВ справедливы следующие формулы:

М_е =.

Так, в примере 26.1 с ожиданием автобуса М_е = 5,,

.

Ответ: М_е = 5,,.

Итак, если в условии задачи речь идет о равномерном распределении, то для описания этого распределения и нахождения его числовых характеристик можно использовать рассмотренные выше формулы.

Распределение вероятностей называется показательным, если оно задается функцией плотности вероятности вида:

где λ – параметр.

Показательным распределением описывается, например, продолжительность существования радиоактивных частиц. Срок службы той или иной технической системы до выхода из строя также характеризуется показательным распределением, что обуславливает его широкое применение в теории надежности.

График функции плотности вероятности для показательного распределения имеет вид:

λ

0 х

Числовые характеристикидля показательного распределения следующие:

Пример 26.2. Непрерывнаяслучайная величина имеет функцию плотности вероятности вида:

. Найдите числовые характеристики НСВ.

Решение. Данная случайная величина распределена по показательному закону с параметром

λ = 2. Тогда ее числовые характеристики следующие:

.

Ответ: 0,5,,.

Дата добавления: 2014-01-06