Закон больших чисел в форме Чебышева

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая серия однотипных опытов, например, определяется число бракованных изделий в каждой партии продукции предприятия. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов (среднее число бракованных изделий в каждой партии) утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых общее действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

В основе доказательства теорем, объединенных термином «закон больших чисел», лежит неравенство Чебышёва, по которому устанавливается вероятность отклонения Х от ее математического ожидания на величину ε:

П.Л. Чебышёв

Другими словами, неравенство Чебышева задает вероятность попадания значений случайной величины в интервал (М(Х)–ε; М(Х)+ε) независимо от закона распределения случайной величины:

М(Х)–ε М(Х) М(Х)+ε х

Отметим, что для того, чтобы использовать неравенство Чебышёва, интервал значений должен быть симметричен относительно математического ожидания. Так, неравенство Чебышёва нельзя применять для нахождения вероятности значений из промежутка (М(Х)–ε₁; М(Х)+ε₂), где ε₁ ≠ ε₂.

Пример 28.1. При заданных технологических условиях масса заготовки является случайной величиной с математическим ожиданием 50 кг. Среднеквадратическое отклонение не превышает 0,2 кг. Оцените вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг.

Решение. Введем случайную величину Х – масса наудачу взятой детали.

Известно, что М(Х) = 50 кг, σ = 0,2 кг, отклонение ε значений 49,5 и 50,5 от среднего 50 составляет 0,5 кг.

Воспользуемся формулой, где D(Х) = σ² = 0,04.

Получаем, что.

Ответ: вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать

в границах от 49,5 до 50,5 кг, больше или равна 0,84.

На практике эта вероятность значительно ближе к единице, т.к. неравенство Чебышева дает достаточно «грубую» оценку вероятности события.

На практике часто используют теорему Чебышёва, которая справедлива как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. В теореме Чебышёва утверждается, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то практически достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание, к ним также будет применима теорема Чебышева.

Пример 28.2 Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным?

Решение. Ответ на этот вопрос даст теорема Чебышёва. Рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины X₁, X₂, … X_n. К ним можно применить теорему Чебышёва, если: 1) они попарно независимы; 2) имеют одно и то же математическое ожидание; 3) дисперсии их ограничены.

Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных. Второе требование выполняется, если измерения проведены без систематических ошибок, тогда математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру а. Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено. Если все указанные требования выполнены, мы вправе применить к результатам измерений теорему Чебышева: при достаточно большом n вероятность неравенства

как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое практически совпадает с истинным значением измеряемой величины.

Итак, теорема Чебышёва указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применен. Однако, ошибочно думать, что увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью ± α; поэтому каждый из результатов измерений, а следовательно, и их среднее арифметическое, будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

На теореме Чебышёва основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности исследуемых объектов.

Контрольные вопросы:

1. Что включает в себя закон больших чисел?

2. К каким видам распределения случайных величин применимо неравенство Чебышева?

3. Какова формулировка неравенства Чебышева?

4. Сформулируйте теорему Чебышёва.

5. Как используют теорему Чебышёва в физике и статистике?

6. Решите задачу: Средний расход воды на предприятии составляет 1000л/день, а σ(Х) не превышает 200л. Оцените вероятность того, что расход воды на ферме не превзойдет 2000 л.

Дата добавления: 2014-01-06