Вероятность и частота. Закон больших чисел в форме Бернулли. Центральная предельная теорема

Формулировка закона больших чисел в форме Бернулли основана на понятии «частота». На практике бывает не всегда возможно оценить вероятность события, опираясь только на свойства изучаемого объекта. Например, мы можем найти вероятность выпадения герба при подбрасывании монеты, она равна ½. А как найти вероятность поражения стрелком мишени? Как оценить вероятность брака при производстве продукции? Вот в этих случаях нам и необходимо понятие «частота».

Пусть А – случайное событие, связанное с некоторым опытом. Например, испытание – выстрел стрелком по мишени, событие А – поразить цель. Повторим опыт п раз в одних и тех же условиях, и пусть при этом событие А появится т раз.

Тогда отношение числа т опытов, в которых событие А произошло, к общему числу п проведенных опытов, называется частотой события А.

Так, если стрелок делает 10 выстрелов по мишени и попадает 8 раз, то частота события А – попадания по мишени при одном выстреле - равна 8/10.

Оказывается, что при многократном повторении опыта частота близка к некоторому постоянному числу. Так, ещё с средние века многих естествоиспытателей интересовал вопрос: а какова частота выпадения герба? Действительно, близка ли она к ½ - вероятности появления герба? Каждый может провести подобный эксперимент. Мы же приведем таблицу результатов, полученных в XVШ веке французским естествоиспытателем Жоржем Бюффоном (1707-1788) и в начале ХХ века английским математиком и статистиком Карлом Пирсоном (1857-1936):

Экспериментатор	Число бросаний	Число выпадений герба	Частота выпадения герба
Ж. Бюффон			0,5080
К. Пирсон			0,5016
К. Пирсон			0,5006

Видим, что при увеличении числа испытаний частота выпадения герба неуклонно приближается к числу ½.

Рассмотрим другой пример. В середине XIX века преподаватель высшей духовной школы в городе Брюнне (ныне г. Брно, Чехия) Грегор Иоганн Мендель проводил ставшие впоследствии знаменитыми опыты с горохом, в результате которых были открыты законы наследственности. Мендель скрестил два сорта гороха с желтыми и зелеными семенами, после чего растения дали только желтые семена. После самоопыления растений, выращенных из этих семян, появился горох с желтыми и зелеными плодами. Мендель подсчитал, что отношение числа растений с желтыми семенами к числу растений с зелеными семенами равно 3,01, т.е. частота появления зеленого плода примерно ¼, желтого – ¾. Ученый скрещивал растения, отличающиеся по форме плода, по расположению цветков и т.д., и каждый раз в первом поколении обнаруживал только один признак, который назвал «доминантный». Лишь во втором поколении появлялся второй признак – «рецессивный». И во всех случаях частота появления рецессивного признака была близка к ¼.

Впоследствии немецкий зоолог Вейсман и американский биолог Морган объяснили результаты опытов Менделя, вывели законы наследственности. Механизм наследования так же случаен, как и исход бросания монеты или игральной кости. Так что можно сказать, что природа иногда «играет в кости»!

Без знания частоты события трудно пришлось бы дешифровальщикам текстов. Еще во времена Юлия Цезаря использовали шифр замены. В нем по некоторому закону (ключу шифра) вместо одних букв использовались другие буквы, или буквы заменялись какими-либо символами. Такие шифры использовались на протяжении многих лет, пока не догадались, что их можно раскрыть и без ключа. Дело в том, что каждая буква в русском или иностранном алфавите обладает определенной частотой. Так наиболее часто встречающиеся буквы в зашифрованном тексте соответствуют наиболее употребляемым буквам в языке.

Приведем частоту некоторых букв русского алфавита:

Буква	Частота		Буква	Частота
О	0,110		Т	0,065
Е	0,087		Н	0,065
А	0,075		С	0,055
И	0,075		Ф	0,002

Метод расшифровки текстов, основанный на частоте, великолепно описали в своих рассказах Эдгар По («Золотой жук») и Артур Конан Дойл («Пляшущие человечки»).

Вот другой пример – из демографии. Невозможно точно определить, кто родится в каждой конкретно взятой семье - девочка или мальчик. Но еще в XVШ веке на большом статистическом материале было установлено, что доля новорожденных мальчиков выше, чем доля новорожденных девочек. Подсчитано, что частота рождения мальчика – устойчивое число - колеблется около 0,517.

Рассмотренные выше примеры, а также неоднократные наблюдения других массовых явлений позволяют сделать вывод, что если опыт повторяется в одинаковых условиях достаточно большое количество раз, то частота некоторого события А приобретает статистическую устойчивость, с увеличением числа опытов все более приближаясь к некоторому числу р.

Постоянная величина р, к которой все более приближается частота т/п события А при достаточно большом числе повторений опыта, называется статистической вероятностью события А.

На практике за численное значение вероятности события А (например, вероятности попадания стрелком в цель) приближенно принимается частота этого события, вычисленная при большом числе опытов. Но правомерно ли это?

Теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.) и получившая название «закона больших чисел» в форме Бернулли, объясняет, почему частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.

Я. Бернулли

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, а число испытаний достаточно велико, то частота т/п события А как угодно мало отличается от его вероятности р.

Значение закона больших чисел трудно переоценить. Он широко применяется при планировании производства, теории надежности, теории стрельбы, теории ошибок измерения и во многих других отраслях науки и техники.

Помимо закона больших чисел к предельным теоремам, устанавливающим зависимость между необходимостью и случайностью, относится группа теорем, получивших название центральная предельная теорема. Одна из простых ее формулировок относится к одинаково распределенным случайным величинам: если Х ₁, Х ₂… Х_п – независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями М (Х_k)=а и дисперсиями D (Х_k)=σ², то при неограниченном увеличении их числа п закон распределения их суммы Х приближается к нормальному с параметрами М (Х)=па и D (Х)=σ².

Наглядной иллюстрацией центральной предельной теоремы служит опыт Гальтона. Берем доску, в которую в шахматном порядке вбиты гвозди следующим образом:

.

..

... r

....

.....

0 х

Устанавливаем доску в наклонном положении. Сверху сыплем шарики одинакового диаметра, при условии, что диаметр шариков d<r. Проведем ось 0 х, причем точку 0 выберем посредине доски.

Тогда пусть для каждого шарика х₁ – смещение при столкновении с первым гвоздем, оно может быть 1, если шарик отклонится вправо, или -1, если шарик отклонится влево; х₂ – смещение при столкновении со вторым гвоздем и т.д. до х_п, где п – число рядов гвоздей.

Тогда общее смещение для каждого шарика равно х = х₁ + х₂ +…+ х_п. Получим, что каждый шарик будет иметь свое смещение.

Согласно центральной предельной теореме случайная величина Х – сумма отклонений шариков, будет иметь распределение, близкое к нормальному (что хорошо видно на рисунке) с математическим ожиданием М(Х)= 0.

Контрольные вопросы:

1. Что называют частотой события А?

2. Дайте определение статистической вероятности события А. Проанализируйте, когда применяется классическое, когда геометрическое, а когда статистическое определение вероятности события.

3. Какая теорема является теоретической основой статистического определения вероятности? Приведите ее формулировку.

4. Сформулируйте центральную предельную теорему. Какой опыт служит ее наглядной иллюстрацией?

Глава VI. Математическая статистика

Термин статистика происходит от латинского слова «status» – состояние. Первоначально, в XVIII веке, когда статистика начала оформляться в научную дисциплину, термин статистика связывался с системой описания фактов, характеризующих состояние государства.

Математическая статистика возникла в XVII веке и создавалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики во второй половине XIX в. и в XX в. обязано в первую очередь П.Л. Чебышёву, А.М. Ляпунову, А.Н. Колмогорову, А.Я. Хинчину, К. Гауссу, Ф. Гальтону, К. Пирсону, Р. Фишеру.

Дата добавления: 2014-01-06