Метод статистических испытаний

ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

В §32 было показано, что хорошей точечной оценкой неизвестной вероятности любого события Р(А) служит частота события, где число испытаний п достаточно велико.

На практике же, например, подбросив монету 50 раз, вы получите, что герб выпал 24 раза. Тогда частота выпадения герба в вашем случае равна 24/50 или 0,48. Но полученная частота 0,48 не совпадает с 0,5 - вероятностью выпадения герба при подбрасывании монеты! Поэтому неизвестную вероятность события бывает удобно определить не одним числом, а интервалом значений (р₁; р₂), которому обязательно принадлежит искомая вероятность события, т.е. построить интервальную оценку вероятности события.

Р(А)

р₁ р₂ р

Интервал (р₁; р₂) называют доверительным интервалом с доверительной вероятностью (надежностью) α, если вероятность того, что неизвестная вероятность события Р(А) принадлежит интервалу (р₁; р₂) больше или равна α, т.е. Р(Р(А) (р₁; р₂)).

Рассмотрим формулу для нахождения Р(А), если число испытаний п гораздо больше 100. Пусть р = – частота события, рассчитанное по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение вероятности Р(А) с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку (р - δ; р + δ), где

δ – точность оценки, находится по формуле:,

п – объем выборки,

t – аргумент функции Лапласа, при котором, находится по таблице (приложение 2).

Алгоритм поиска интервальной оценки вероятности события с надежностью α можно представить в виде схемы:

Приложение2 t ()

Рассмотримпринцип нахождения интервальной оценки вероятности события на примере:

Пример 34.1. Из 500 случайным образом отобранных деталей оказалось 25 нестандартных. Найдите интервальную оценку вероятности события А – выбрать нестандартную деталь - с надежностью 0,95.

Решение. По условию α = 0,95, п = 500, т = 25.

Тогда р =, р = 25/500 = 0,05.

По схеме нахождения интервальной оценки вероятности события

α /2 = 0,95/2 = 0,475. По таблице значений функции Лапласа находим t= 1,96.

Вычислим δ по формуле:.

.

Получаем доверительный интервал:

0,05 – 0,019 < Р(А)< 0,05 + 0,019

0,031 < Р(А)< 0,069.

Ответ: с надежностью 0,95 неизвестная вероятность появления нестандартной детали принадлежит интервалу (0,031; 0,069).

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение доверительного интервала с доверительной вероятностью (надежностью) α для оценки вероятности события?

2. Приведите алгоритм поиска интервальной оценки вероятности события с надежностью α.

3. Решите задачу: Биолог, исследуя выведенный гибрид, подсчитал, что из посеянных в экспериментальной партии 200 семян взошли 185. Найдите интервальную оценку для всхожести семени с надежностью 0,9.

Глава VII. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Основная идея метода статистических испытаний заключается в том, что вместо аналитического решения задачи проводят эксперимент, имитируют случайные явления, рассматриваемые в задаче. Одним из возможных способов имитации случайных явлений является рулетка, а игрой в рулетку знаменит город Монте-Карло. Именно этим объясняется другое название метода статистических испытаний – метод Монте-Карло.

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 год, когда американские ученые Н.Метрополис и С.Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой систематически его изложили.

§ 35. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НА ОТРЕЗКЕ [0; 1]

Для реализации метода статистических испытаний необходимо имитировать случайные явления, рассматриваемые в задаче. Для этого либо проводят эксперимент, непосредственно рассматриваемый в задаче, либо заменяют его экспериментом, имеющим сходную вероятностную структуру. Рассмотрим на примере, как реализуется данный метод.

Пример 35.1. Прибор состоит из трех блоков. Вероятность бесперебойной работы каждого блока в течение года равна 5/6. Блоки выходят из строя независимо друг от друга. При отказе хотя бы одного блока прибор перестает работать. Найдите вероятность того, что прибор в течение года выйдет из строя.

Решение методом статистических испытаний: Очевидно, что наблюдать за работой прибора в течение года нецелесообразно, поэтому заменим этот эксперимент другим. Возьмем для каждого блока по игральной кости и будем их подбрасывать. Условимся, что если на одной игральной кости выпала «1», то соответствующий блок вышел из строя (т.к. вероятность бесперебойной работы каждого блока в течение года равна 5/6, следовательно, вероятность отказа 1/6). Если хотя бы на одной игральной кости выпадет «1», то прибор выйдет из строя.

Повторим испытание, состоящее в подбрасывании трех костей, много раз подряд и найдем отношение числа т отказов прибора к общему числу испытаний п. Тогда вероятность того, что прибор в течение года выйдет из строя, равна р_п ≈ т/п.

Чем больше будет число проведенных испытаний, тем выше точность решения задачи. Что же может обеспечить такое большое число испытаний? Конечно, применение ЭВМ. Оказывается, что для имитации случайных явлений самой различной природы достаточно получить на ЭВМ последовательность значений случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0; 1]. Процесс получения значений случайной величины называют ее моделированием.

Так, в примере 37.1 проведем серию из п экспериментов (цикл от 1 до п), в каждом из котором:

1. получаем три значения случайной величины r_п1, r_п2, r_п3;

2. если или r_п1<1/6, или r_п2<1/6, или r_п3<1/6, то фиксируем выход прибора из строя, к т – числу отказавших приборов, первоначальное значение которого считаем равным 0, добавляем 1. В противном случае считаем, что система работает безотказно.

Тогда вероятность того, что прибор в течение года выйдет из строя, рассчитывается как р_п ≈ т/п.

Блок схема алгоритма решения этой задачи выглядит следующим образом:

– число испытаний

п – число испытаний

т:=0 обнуление счетчика числа отказа прибора

i:=1 переменная-счетчик цикла

i>n

Присвоение значений r1, r2, r3 при помощи генератора случайных чисел

т:=m+1- подсчет числа отказов прибора

i:=i+1

да

да

нет

нет

(r1<1/6)или(r2<1/6) или(r3<1/6)  

Проверка условия: откажет прибор или будет работать бесперебойно

р_п ≈ т/п.  

Встает вопрос: как на ЭВМ получить последовательность значений случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0; 1]? Для этого существует несколько способов.

1. Физические генераторы.

Физическим генератор – специальное приспособление к ЭВМ, в котором результаты случайного физического процесса преобразуются в последовательность значений равномерно распределенной на отрезке [0; 1] случайной величины Х.

Например, в ЭВМ может находиться слабый источник радиоактивного излучения. Специальный счетчик подсчитывает количество радиоактивных частиц за время Δt. Если число четное, то в соответствующий разряд посылается 0, нечетное – 1. В итоге при совместной работе к генераторов, получается к -разрядная двоичная дробь. Эта дробь случайна, поскольку время Δt подбирают таким образом, чтобы вероятности получения в разряде 0 и 1 были равны ½.

2. Таблицы случайных чисел.

Чтобы в процессе решения задачи методом статистических испытаний не тратить время на получение значений случайной величины, существуют заранее составленные таблицы. Они хранятся в памяти ЭВМ, однако в практике почти не используются. Дело в том, что хранение таблиц во внешней памяти и постоянное обращение к ней в процессе решения задачи значительно замедляют счет, а внутренняя память и так загружена информацией, относящейся к данной задаче.

3. Псевдослучайные последовательности чисел.

Последовательность чисел называют псевдослучайной, если она получена с помощью рекуррентной формулы и обладает свойствами, близкими к свойствам равномерного распределения на отрезке [0; 1].

Один из первых методов получения псевдослучайной последовательности был предложен Джоном Нейманом. Он называется методом середины квадратов. Рассмотрим его на примере.

Пример 35.2. Возьмем некоторое число r₀ = 0,1234.

Возведем его в квадрат: r₀² = (0,1234)² = 0,01522756.

Выберем четыре средние цифры этого числа и назовем их r₁ = 0,5227.

Возведем его в квадрат: r₁² = (0,5227)² = 0,27321529.

Снова выберем четыре средние цифры этого числа и найдем r₂ = 0,3215.

Далее находим r₂² = 0,10336225 и r₃ = 0,3362;

r₃² = 0,11303044 и r₄ = 0,3030 и т.д.

Последовательность чисел r₁, r₂, r₃, r₄ … принимают за последовательность значений случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [0; 1].

Существуют и другие алгоритмы образования псевдослучайных последовательностей. Данный метод прост и экономичен. Он не требует разработки специальных приспособлений к ЭВМ, при его использовании на получение каждого числа затрачивается всего несколько простых операций. Однако, числа, входящие в псевдослучайную последовательность все-таки зависимы между собой, и в чистом виде ее нельзя считать случайной.

Благодаря тому, что ЭВМ позволяют легко получать псевдослучайные числа, метод статистических испытаний широко применяется во многих области науки и техники (теоретической физике, связанной с хаотичным движением молекул, теории массового обслуживания, теории игр и др.). Метод статистических испытаний (Монте-Карло) используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т. д.).

Многие программные среды предусматривают применение генератора случайных чисел. Так, в языке Turbo Pascal существует функция random, позволяющая получить случайное число из промежутка [0; 1].

Составим программу реализации алгоритма примера 37.1 на языке Turbo Pascal:

program pribor;

Дата добавления: 2014-01-06