Моделирование нормально распределенной НСВ

Моделирование показательно распределенной НСВ (методом обратных функций).

End.

Если непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром λ, то она задается следующей функцией плотности вероятности: F(х)=1-е^λх. Наша цель: получить последовательность х_i – значений показательно распределенной непрерывной случайной величины.

Применяя генератор случайных чисел, получим последовательность случайных чисел из промежутка [0; 1]: r₁, r₂, r₃…r_п, где r_i = F(х_i).

Тогда r_i=1-. Выразим х_i:

=1- r_i;

-λх_i= ln(1- r_i);

х_i= -(ln(1- r_i))/λ – формула задания значений НСВ с показательным распределением.

Для моделирования НСВ с нормальным распределением можно использовать метод обратных функций, но трудность заключается в том, что F(х) задается достаточно сложной формулой: F(х)=.

При использовании ЭВМ обычно применяют метод, основанный на центральной предельной теореме: если случайные величины Х ₁, Х ₂… Х_п независимы, одинаково распределены с математическими ожиданиями М (Х_k)=а и дисперсиями D (Х_k)=σ², то при неограниченном увеличении их числа п закон распределения их суммы (Х ₁+ Х ₂+…+ Х_п) приближается к нормальному с параметрами М (Х)=па и D (Х)= пσ² (§31).

Используя пункт 1 данного параграфа, мы можем получить последовательность Х_i значений равномерно распределенной на отрезке [0; 1] непрерывной случайной величины. Обозначим их сумму через Y:

Y = Х ₁+ Х ₂+…+ Х_п.

Применим формулы нахождения математического ожидания и дисперсии равномерно распределенной НСВ:. Получим, что при а =0, b =1 М (Х)= 0,5, D (Х)= 1/12. Тогда в силу закона больших чисел имеем случайную величину Y с нормальным распределением, где

М (Y)=па М (Y)= 0,5 п;

D (Y)= пσ² D (Y)=n /12.

Но чтобы задать любую нормально распределенную случайную величину, необходимо задать два параметра: а и σ. Приведем полученную нами случайную величину Y к стандартной нормально распределенной НСВ U по формуле: U= U= = = (*).

Помимо этого, стандартную нормально распределенную НСВ U можно задать по формуле: U=, где N – искомая нормально распределенная случайная величина с параметрами а и σ, причем а=М(N), σ=. Тогда U= (**).

Приравняем выражения (*) и (**): = и выразим значения N: N-а=;

N= +а.

Поскольку Y = Х ₁+ Х ₂+…+ Х_п (Y =), формула для нахождения значений нормально распределенной случайной величины N_j с параметрами а и σ примет вид: N_j= +а. (***)

Достаточно взять п≥ 12, и можно считать, что Y имеет нормальный закон распределения. Имея 12 значений случайной величины Х и подставив их в формулу (***), получим первое значение нормально распределенной НСВ – N₁. Имея следующие 12 значений случайной величины Х и вновь подставив их в формулу (***), получим второе значение нормально распределенной НСВ – N₂ и т.д.

Контрольные вопросы:

1. В чём заключается сущность моделирования НСВ методом статистических испытаний?

2. Решите задачу: Составьте программу моделирования показательно (нормально) распределенной НСВ на языке Turbo Pascal.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учебное пособие / В.В.Афанасьев. - Ярославль, 1994.
2. Афанасьев В.В. Дидактический модуль курса стохастики: Учебное пособие / В.В.Афанасьев. - Ярославль, 1999.
3. Афанасьев В.В. Введение в теорию вероятностей: Учебно-методическое пособие / В.В.Афанасьев. - Ярославль, 1990.
4. Афанасьев В.В. Случайные события. Учебное пособие / В.В.Афанасьев, С.И Мамонтов. -Ярославль, 1999.
5. Валуце И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие / И.И. Валуце, Г.Д. Дилигул. – М.: Наука, 1989. – 576 с.
6. Виленкин Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин. - М.: Наука, 1969.
7. Глеман М., Вероятность в играх и развлечениях / М. Глеман, Т. Варга. - М.: Просвещение, 1979.
8. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / В.Е. Гмурман. - М.: Высшее образование, 2009. – 479 с.
9. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин - М: Высш.шк., 2001. – 336 с.
10. Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей / А.Н. Колмогоров, И.Г. Журденко, А.В. Прохоров. - М.: Физматгиз, 1995.
11. Кочетков Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: учебное пособие / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская. – М.: Форум: Инфра-М, 2005. – 480 с.
12. Культин Н.Б. Программирование в Turbo Pascal 7.0 и Delphi / Н.Б. Культин.- СПб.: БХВ-Петербург, 2002.
13. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников / А. Плоцки.- М.: Просвещение, 1996.

СПРАВОЧНИК ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Дата добавления: 2014-01-06