Часть 1. Случайные события

Теория вероятностей

Содержание

Введение……………………………………………………………………… 5

Предмет теории вероятностей…………………………………………….. 5

Глава 1. Основные понятия теории вероятностей……………. 5

1. Испытания и события……………………………………………………….5

2. Виды случайных событий…………………………………………………..5

3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности…………6

4. Основные формулы комбинаторики………………………………………. 6

5. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты………….7

6. Геометрическая вероятность ……………………………………………….8

Глава 2. Теорема сложения вероятностей………………………. 9

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий…………………9

2. Полная группа событий………………………………………………………9

3. Противоположные события…………………………………………………10

4. Принцип практической невозможности маловероятных событий……….11

Глава 3. Теорема умножения вероятностей……………………. 10

1. Произведение событий…………………………………………………… 10

2. Условная вероятность……………………………………………………….11

3. Теорема умножения вероятностей………………………………………….11

4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий 12

5. Вероятность появления хотя бы одного события………………………….13

Глава 4. Следствия теорем сложения и умножения ………… 14

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий………………… 14

2. Формула полной вероятности ………………………………………….…..14

3. Вероятность гипотез. Формула Бейеса……………………………………..15

Глава 5. Повторение испытаний…………………………………. 16

1. Формула Бернулли…………………………………………………………...16

2. Локальная теорема Лапласа………………………………………………...17

3. Интегральная теорема Лапласа……………………………………………...18

4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях ……………………………………...18

Часть 2. Случайные величины…………………………... 18

Глава 6. Виды случайных величин. Задание дискретнойслучайной величины…………………………………. 18

1. Случайная величина………………………………………………………….18

2. Дискретные и непрерывные случайные величины…………………………18

3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины……19

4. Биномиальное распределение………………………………………………...19

5. Распределение Пуассона……………………………………………………..21

6. Простейший поток событий………………………………………………….21

7. Геометрическое распределение……………………………………………...22

8. Гипергеометрическое распределение………………………………………. 22

Глава 7. Математическое ожидание дискретной случайной величины…………………………………………………………….. 23

1. Числовые характеристики дискретных случайных величин………………23

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины…………….23

3. Вероятностный смысл математического ожидания………………………..24

4. Свойства математического ожидания……………………………………….25

5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях……………………………………………………………………….28

Глава 8. Дисперсия дискретной случайной величины…... 28

1. Целесообразность введения параметра рассеяния случайной величины…28

2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания……..29

3. Дисперсия дискретной случайной величины………………………………29

4. Формула для вычисления дисперсии ……………………………………….30

5. Свойства дисперсии…………………………………………………………..31

6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях………..32

7. Среднее квадратическое отклонение………………………………………...33

8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин………………………………………………………………34

9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Свойства среднего арифметического………………………………………..35

10. Начальные и центральные теоретические моменты………………………35

Глава 9. Закон больших чисел…………………………………......36

1. Замечания……………………………………………………………………..36

2. Неравенство Чебышева……………………………………………………….37

3. Теорема Чебышева …………………………………………………...………37

4. Сущность теоремы Чебышева………………………………………………..39

5. Значение теоремы Чебышева для практики…………………………………39

6. Теорема Бернулли…………………………………………………………….40

Глава 10. Функция распределения вероятностей случайной величины…………………………………………………………….. 41

1. Определение функции распределения……………………………………....41

2. Свойства функции распределения…………………………………………..41

3. График функции распределения…………………………………………….42

Глава 11. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины………………………………43

1. Определение плотности распределения…………………………………….43

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал………………………………………………………………………….43

3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения……………………………………………………………………44

4. Свойства плотности распределения…………………………………………45

5. Вероятностный смысл плотности распределения…………………………..46

6. Закон равномерного распределения вероятностей…………………………47

Глава 12. Нормальное распределение…………………………… 47

1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание……………………………………………….47

2. Нормальное распределение………………………………………………… 49

3. Нормальная кривая………………………………………………………… 50

4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой…………………………………………………………………………….51

5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины…………………………………………………………………………53

6. Вычисление вероятности заданного отклонения…………………………...54

7. Правило трех сигм…………………………………………………………….55

8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы…………………………………………………………………………..55

9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс…………………………………………………………..56

Глава 13. Показательное распределение……………………….. 56

1. Определение показательного распределения………………………………56

2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины………………………………………….58

3. Числовые характеристики показательного распределения………………...58

Глава 14. Система двух случайных величин……………………. 59

1. Понятие о системе нескольких случайных величин……………………….59

2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины………………………………………………………………………....59

3. Функция распределения двумерных случайных величин…………………60

4. Свойства функции распределения двумерной случайной величии…….....60

5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу…………………..62

6. Вероятность попадания точки в прямоугольник…………………………...62

7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)……...62

8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения……………………………………………………………………63

9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности………………..63

10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область…….64

11. Свойства двумерной плотности вероятности……………………………..64

12. Отыскание плотностей вероятностей составляющих двумерной случайной величины……………………………………………………………65

13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величии………………………………………………………….66

14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин…………………………………………………………..67

15. Условное математическое ожидание……………………………………….67

16. Зависимые и независимые случайные величины………………………….68

17. Числовые характеристики систем двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции…………………….69

18. Коррелированность и зависимость случайных величин…………………71

19. Нормальный закон распределения на плоскости…………………………72

20. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии 73

21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция ………………………….75

Дата добавления: 2014-01-06