Л 8 . Модели надежности

В значительном количестве случаев административной, общественной и хозяйственной деятельности требуются ответы двузначного характера «да» или «нет». Учитывая то обстоятельство, что подобные решения принимаются в условиях неполной информации или под определенным углом зрения, эти ответы могут быть либо правильными, либо ошибочными. В подобных случаях особенно важной является процедура принятия группового (кооперативного) решения того же характера, так как «хорошее» правило позволяет существенно снизить вероятность ошибочного решения. К примеру, в юридической практике принятие решений особенно полезной является процедура суда присяжных.

Подобные соображения наталкивают на мысль использовать для анализа подобных ситуаций и синтеза «хороших» правил принятие групповых решений идеи технической надежности, заложенной в середине XX века Дж. фон Нейманом, Е.Муром и К.Шенноном. Приведем основные понятия этой теории вместе с новой интерпретацией их.

1º. Основным объектом изучения в технической теории надежности является понятие элемента, который может находиться в одном из двух состояний: рабочем и отказа. В нашем случае элементом является лицо, принимающее решение, которое принимает либо правильное, либо ошибочное решение. Следуя технике, представим элемент двуполюсником

х,

который может находиться в одном из состояний

если элемент работает, решение правильное

если элемент находится в состоянии отказа, решение ошибочное

Если состояние элемента случайно, то переменная Х, определяющее его состояние, является случайной величиной, имеющей ряд распределения вероятности

Х
Р	1-р	р

где число р = Р{Х=1} называется надежностью элемента. В нашей интеграции число р означает долю правильных ответов на вопросы, возникавшие в схожих ситуациях.

2º. Системой или структурой в технике называют двуполюсник, подобный элементу, но составленный из нескольких элементов. В некоторых случаях структуру можно изобразить в виде электрической схемы

1 2 n

Пример 1.
х₁ х₂ … х_n

Пример 2.

х₁

х₂

х_n

Структура из примера 1 называется в технике последовательным соединением, из примера 2 – параллельным.

В общем случае система полностью определяется структурной функцией

если структура находится в рабочем состоянии, групповое решение - правильное

если структура находится в состоянии отказа, групповое решение – ошибочно.

Очевидно, что структурная функция зависит от состояния своих элементов, пределяемых двузначными переменными х₁, х₂, …, х_n

В нашей интерпретации структурная функция представляет собой правило соединения индивидуальных решений в групповое. Это правило может быть задано либо таблицей, либо аналитически.

Пример 1. Пусть в условиях примера 1 n = 2, тогда структурная функциязадается таблицей

х1	х2

Аналитическое задание функции может быть осуществлено по разному

где

Пример 2. Структура параллельного соединениядля n = 2 задается таблицей

х1	х2

и аналитически

где

В общем случае, функция определена в точках представляющих вершины n – мерного куба. Обозначим их совокупность Кⁿ. Очевидно, что число элементов В математике подобные функции называют булевыми. Они зависят от булевых переменных. Короче,

В задачах технической надежности принято выделять структуры, удовлетворяющие следующим естественным условиям:

а) все элементы структуры – существенные, т.е. для каждого элемента найдутся две точки множества Кⁿ, отличающиеся лишь координатой, которая соответствует данному элементу, в которых структурная функция принимает различные значения;

б) монотонность, т.е.

если покоординатно.

Эти структуры называют монотонными. В новой интерпретации условия а) и б) также представляются естественными. Так, к примеру, в процедурах голосования их естественность не вызывает сомнений.

По аналогии с надежностью элемента введем понятие надежности структуры, которая будет определяться, с одной стороны, видом структурной функции и с другой- распределением случайного вектора

Последнее определяется вероятностями

в общем случае удовлетворяющими обычным условиям

Теперь, надежность структуры имеет вид

h= М (

В технических задачах часто рассматривается случай независимых отказов, когда для любого соответствующая вероятность имеет вид

где - надежность структуры является функцией надежности ее элементов

(1)

Пример 3. В условиях примеров 1 и 2 надежность соответствующих структур в условиях независимости отказов и равенства надежностей элементов р₁ = р₂ = р имеет вид

Построим график этих функций вместе с графиком тождественной функции

h(р) h(р)

1 1

p

p 0 1

Эти графики показывают, это надежность структуры , меньше надежности ее элементов, а надежность структуры - больше. Последнее обстоятельство широко используется в технике для повышения надежности. Прием параллельного соединения называют также дублированием или резервированием.

Для структур общего вида, элементы которых отказывают независимо друг от друга и имеют одинаковую надежность р, функция надежности (1) имеет особенно простой вид

(1)

где А_к – число значений случайного вектора , для которых

а)

б)

Отметим особую роль структур из примеров 1 и 2.

Теорема 1. Для любой монотонной структуры , элементы которой отказывают произвольным, образом справедливы неравенства

(3)

Следствие. Для любой монотонной структуры, состоящей из независимо отказывающих элементов, имеющих надежность р неравенство (3) имеет вид

(4)

Неравенства (4) легко изобразить графически

n

h(p)

h (p)

h(p)

0 1 р

Дата добавления: 2014-01-06