Бессрочное страхование жизни

Л 6. Модели страхования.

Страховая (актуарная) математика развивается на Западе почти три столетия, хотя сама идея использовалась обществом еще в глубокой древности. Особое развитие этот раздел математики получил в XX веке, активно используя вероятностно-статистические методы. В настоящее время происходит усиленное взаимопроникновение идей финансовой и страховой математик.

В России первые страховые общества возникли в первой трети XIX веке в Сибири. После Октябрьской революции страхование, как социальная функция, была взята на себя государством, что не способствовало развитию соответствующих математических методов. В новых условиях интерес к идеям актуарной математики начинает возрастать среди значительной части общества, например, в связи с пенсионной реформой, так как любая пенсионная схема может быть рассчитана только на основе идей страховой математики. Далее, мы ограничимся беглым изложением только моделей двух видов страхования.

Страхование подобного вида является контрактом (соглашением) между клиентом и страховой компанией, согласно которому клиент выплачивает компании ежегодно определенные, оговоренные контрактом суммы (страховые премии), а после его кончины компания выплачивает наследникам оговоренную в контракте сумму страховки. Так, возникает финансовый поток, который со стороны компании может быть изображен графически

s

N t

0 1 2 … N-1

S

На рисунке по горизонтали откладывается время t с базовой единицей (год). Выплаты клиента изображены столбиками вверх величиной s, выплата страховки - величиной S изображено столбиком величины S, N – число выплат страховой премии.

Изображенный финансовый поток за исключением выплаты страховки является аннуитетом с одной особенностью: количество N выплат страховой премии клиентом компании является случайной величиной, возможно, имеющей существенную вариацию. Для уменьшения вариации страховые компании классифицируют клиентов по многим признакам: возрасту, полу, профессии, расе, состоянию здоровья и пр. Однако этот прием не позволяет полностью избавиться от случайного характера величины N.

Далее, для каждой группы рассчитываются распределения вероятностей случайной величины N-1

N-1			…	n-1	…
P	q1	q2	…	qn-1	…

В этом ряде величины q оцениваются долями группы клиентов, наблюдаемых в прошлом и имеющих соответствующие значения дожития. В некоторых случаях для описания ряда (1) используют параметрические семейства распределений вероятностей, подобных приведенным в § 1.

Теперь, нетрудно рассчитать величину нетто-премии s*, соответствующей величине S, страховки, приравнивая средние выплаты клиента и компании с учетом дисконтирования.

(2)

Упрощая обе части уравнения (2) относительно переменной s, легко найти величину нетто-

премии s*. Действительно, левая часть уравнения (2) преобразуется к виду

Следовательно, величина s* равна

,

где

Отметим, что величина s* является минимальной премией, которую может позволить себе компания, не входя в убыток. К этой величине добавляют обычно накладные расходы, доход и пр.

Пример 1. Пусть клиент- мужчина в возрасте 40 лет страхуется на 50000 руб. Положим для простаты расчетов, что его дожития N-1 имеет следующий ряд распределения вероятности.

N-1			…
P			…

При дисконтирующем множителе , к примеру, найдем величину

И, окончательно,

s* = 1729 руб.

Подобным образом рассчитываются нетто-премии и в более сложных схемах индивидуального и группового страхования. Аналогичным образом исследуются и пенсионные схемы. Например, для негосударственного пенсионного фонда соглашения с клиентом о выплате ему пожизненной ежемесячной пенсии в s₁ по достижении им определенного возраста порождает финансовый поток, изображенный со стороны фонда следующим графиком

s

k+1 k+2 N t

0 1 2 … k …

s₁

На графике единицей времени взят месяц, величина s означает ежемесячные взносы клиента в фонд, расчеты величины s₁ проводится по аналогии с предыдущим на основании распределения вероятностей дожития N.

Дата добавления: 2014-01-06