Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Поставим задачу. Производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях?

Теорема. Дисперсия числа появлений событияв независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появлений события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Доказательство. Введем случайную величину - число появлений события в независимых испытаниях. Очевидно, что общее число появлений события в этих испытаниях равна сумме появлений события в отдельных испытаниях:

,

где число наступлений события в первом испытании, во втором, …., в -м.

Величины взаимно независимы, т.к. исходы испытаний не зависят друг от друга, поэтому

(*)

Вычислим дисперсию по формуле

.

В этой задаче (по условию) ,

Тогда .

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин в (*) также равна . Следовательно,

Замечание. Так как величина распределена по биномиальному распределению, то можно утверждать, что дисперсия биномиального распределения с параметрами и равна произведению

Дата добавления: 2014-01-06