Свойства функции распределения двумерной случайной величии

Св-во 1. Значения функции распределения удовлетворяют неравенству

Доказательство. Свойство следует из определения функции распределения

как вероятности: вероятность – число неотрицательное, не превышающее

единицу.

Св-во 2. есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

если

если

Доказательство. Докажем, что - неубывающая функция по аргументу . Событие, состоящее в том, что составляющая примет значение, меньше и при этом составляющая можно подразделить на следующие два несовместных события:

- примет значение, меншее и при этом с вероятностью

- примет значение, удовлетворяющее неравенству и при этом с вероятностью

По теореме сложения,

Отсюда

или

Так как любая вероятноть есть число неотрицательное, поэтому

или что и требовалось доказать.

Свойство становиться наглядным, если воспользоваться геометрическим

истолкованием функции распределения как вероятности попадания

случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной При возрастании

правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность

попадания случайной точки в “новый” квадрант, не может уменьшиться.

Аналогично доказывается, что есть неубывающая функция по

аргументу .

Св-во 3. Имеют место предельные соотношения:

1) 2) 3) 1)

Доказательство. 1) есть вероятность события но

такое события невозможно, поскольку невозможно событие

следовательно, вероятность этого события равна нулю. 2) Событие

невозможно, поэтому 3) Событие и невозможно, поэтому 4) Событие и достоверно, следовательно,

Св-во 4. а) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей

б) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей

Доказательство. а) Так как событие достоверно, то

определяет вероятность события т.е. представляет собой

функцию распределения составляющей

б) Доказывается аналогично.

Дата добавления: 2014-01-06