Степенные ряды

Степенные ряды - это частный случай функциональных рядов, в котором члены ряда представляют собой степени отклонения переменной от некоторой фиксированной точки плоскости (центра сходимости ряда). Степенные ряды действительной переменной сходятся в интервале , где - радиус сходимости ряда. Точно так же степенной ряд комплексной переменной сходится на множестве , только в комплексных числах это множество представляет собой круг без границы. Сходимость ряда на границе исследуется отдельно.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во внешности круга .

Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).

1) Пусть ряд сходится в точке и .

Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда .

Тогда .

Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.

.

Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области сходится абсолютно.

Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь , а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек рассматриваемой области, то есть не должно зависеть от . Поэтому равномерную сходимость ряда в области утверждать нельзя. Однако если взять (не зависит от ), то в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.

2) Пусть ряд расходится в точке и .

Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке , следовательно, сходиться в точке . Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке , следовательно исходный ряд расходится в области .

Дата добавления: 2014-01-06