Примеры. Записать фразы в виде формул логики предикатов, указав области определения используемых предикатов:

Пример 2.1

Записать фразы в виде формул логики предикатов, указав области определения используемых предикатов:

а) если х делится на у и у делится на z, то х делится на z;

б) х – простое число.

Решение

а) Разбивая фразу на простые предложения, видим, что используется только одно свойство двух объектов, поэтому введем предикат = «делится на «. Речь идет, очевидно, о делимости нацело, поэтому областью определения предиката будет множество целых чисел: .

Структура всей фразы описывается конструкцией «если..., то...», значит, самой внешней (последней) связкой нашей формулы будет импликация. Посылка этой импликации описывается конъюнкцией простых предложений, поэтому итоговая формула имеет вид:

.

б) Самый простой подход: ввести предикат = «– простое число», который и описывает всю фразу.

Но математические термины должны быть определены однозначно (что такое «простое» число, которое записывается одной цифрой? или которое записано с помощью повторения одной цифры? или которое можно легко запомнить или записать?), поэтому точный смысл этой фразы может быть воспроизведен с помощью строгого определения. То есть «делится только на 1 и на себя» или, еще точнее, «либо , либо и если делится на любое , то, или , или «.

В последней фразе использован предикат делимости (см. пункт а), предикат равенства = ««и квантор всеобщности. Поскольку понятие простого числа обычно вводят только для натуральных чисел, то . Формула, описывающая последнюю фразу, имеет вид:

.

Пример 2.2

Указать свободные и связанные вхождения переменных в формулы:

а) ;

б) ;

в) .

Решение

Проанализируем область действия каждого квантора, отмечая связанные вхождения общей прямой с засечками снизу, а свободные вхождения переменных стрелочкой сверху. Отметим, что в третьей формуле F и G – функциональные символы (в теориях первого порядка аргументом предиката не может выступать другой предикат).

¯ ¯

а) ;

¯ ¯

б) ;

¯

в) .

Дата добавления: 2014-01-06