Функции произвольного вида

Нахождение корней уравнений путем символических преобразований

Нахождение корней полиномов

* Алгебраическим полиномом степени n наз. полином вида

Полином с действительными коэффициентами а_n…a₀ÎR имеет либо действительные, либо комплексно-сопряженные корни.

Для нахождения корней полиномов имеется встроенная функция polyroots(А). Аргументом функции является вектор коэффициентов полинома, причем коэффициенты записываются сверху вниз по увеличению степеней: самый большой – самый нижний.

Для нахождения корней полинома иногда требуется преобразовать выражение, чтобы увидеть требуемые коэффициенты. Для этого можно использовать символьные операции.

Пример: Здесь применена операция раскрытия скобок и приведения подобных.

Пример: Здесь сразу применена операция получения вектора коэффициентов

Пример:

Коэффициенты полинома могут быть и комплексными. Если в полиноме отсутствуют некоторые степени, то на соответствующих местах следует писать 0.

Пример: требуется найти корни полинома

Во многих случаях, Mathcad позволяет найти аналитическое решение уравнения. Для того чтобы найти решение уравнения необходимо записать выражение и выделить в нем переменную (поставить указатель курсора возле переменной). Это необходимо для того, чтобы показать, какая именно величина является переменной, а какая – фиксированным параметром. После этого выбираем из меню Symbolic подпункт Solve for Variable (Символика – Переменная - Решение):

Обратите внимание! В данном случае был найден только один корень, хотя, очевидно, их бесконечно много.

Можно воспользоваться непосредственным применением оператора символьных вычислений:

В случае полинома Mathcad, а точнее – встроенный символический процессор Maple – находит все корни:

При решении может получиться достаточно громоздкое выражение. Чтобы избежать этого, можно последовательно применить две символьных операции (решение и вычисления с плавающей запятой), при этом получившееся выражение будет удобочитаемым.

Пример:

Найдем нули функции на интервале x=[–2,7], используя Mathcad

Изобразим сначала функцию на графике.

На заданном интервале функция три раза обращается в ноль. Определим нули функции, используя встроенную функцию root(f(x),x). Первый аргумент – функция, нуль которой необходимо найти, второй – переменная, которую необходимо варьировать. (Вообще говоря, функция f может быть функцией многих переменных и необходимо указывать, по какой именно переменной мы ищем нуль функции.) Кроме того, необходимо задать начальное приближение поиска. Точность вычислений задается встроенной переменной TOL. По умолчанию ее значение равно 0,001. Это значение можно изменить либо через меню Math/Built–In Variables или непосредственно в тексте документа:

Задаем начальное приближение:

И вычисляем корень:

Если требуется найти несколько корней, как в нашей задаче, то имеет смысл определить новую функцию:

Функция r(x) возвращает значение корня ближайшее к x, то есть начальное приближение мы задаем через аргумент функции. Задаем вектор начальных приближений x и находим соответствующие им корни X:

Для данного примера корни легко могут быть найдены аналитически. Они равны на заданном интервале -p/2, p/2 и 3p/2. Полученный численный результат с заданной точностью совпадает с точным решением.

Определение новой функции целесообразно и в том случае, когда мы хотим исследовать зависимость решения от параметра. Пусть функция зависит от параметра a

Первый аргумент функции z задает значение параметра, второй – начальное приближение. Найдем корни уравнения при значениях параметра 1 и 2.

Если мы хотим получить комплексный корень, то начальное приближение следует задавать комплексным:

Дата добавления: 2014-01-06