Решение систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств

R1

R2

R3

I₃

I₂

E

СЛАУ часто встречаются при решении задач электротехники. Например, при нахождении токов в ветвях электрической цепи постоянного тока.

E=10B, R₁=5 Om, R₂=R₃=10 Om

Получим СЛАУ для нахождения токов в ветвях:

Þ

Система m линейных алгебраических ура­в­не­ний с n не­известными в общем виде может быть за­­­писана сле­ду­ющим образом:

(1)

или в матричном виде AX = B, где A - прямоу­голь­­­ная мат­рица коэффициентов размерности m ´ n, X - век­тор n -го по­ряд­ка, B - век­тор m -го порядка (столбец свободных членов).

Ре­ше­нием сис­­темы (1) на­зы­ва­ет­ся такая упо­­ря­до­ченная со­­во­куп­ность чисел которая об­ра­ща­ет все уравнения сис­­те­мы в вер­ные ра­­вен­ства.

Система линейных уравнений называется сов­­­мест­­­­ной, ес­ли она имеет хотя бы одно ре­ше­ние, и не­­сов­­мест­ной - в про­тивном случае. Сов­мест­­ная сис­­те­ма на­зы­ва­ет­­ся определенной, если она имеет един­ст­вен­ное ре­ше­ние, и не­оп­ре­де­лен­ной - в про­тив­­ном слу­чае. Система яв­ля­­ется опре­де­­ленной, ес­­ли rang A = rang B, где матри­ца B, по­­лученная из матрицы A добавлением стол­бца сво­бод­ных чле­­нов, на­зы­­вается рас­ши­рен­ной.

Если матрица A - квадратная и det A ¹ 0, то она на­зы­­вается неособенной (невырожденной), при этом сис­те­ма уравнений, имеющая не­о­со­бен­ную мат­ри­цу A, сов­мес­­тна и имеет единственное ре­­шение.

Eсли уравнения (1) являются не­ли­ней­­­ными от­но­си­тельно неизвестного вектора Х, то со­от­вет­с­т­ву­ю­щая сис­тема, записанная в век­тор­ной форме на­­­зы­вается системой нелинейных уравнений. Она мо­жет быть также представлена в ко­орди­натном виде:

1 < k < n.

Простейший способ решения СЛАУ: X=A^-1*B.

1 способ: Функция lsolve(A,B) – возвращает вектор Х для системы линейных уравнений АХ=В при заданных А и В.

2 способ: Метод Крамера.

3 способ: Метод Гаусса.

Метод Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁, x₂, …, x_n приводит последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей, решение которой находят по рекуррентным формулам. В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. А затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, (n+1)-й столбец этой матрицы содержит решение системы.

Пример:

(Тождественное преобразование – запись на месте любой из строк матрицы линейной комбинации из строк той же матрицы, а также вынесение общего множителя строки)

В Mathcad прямой и обратный ходы Гаусса выполняет функция rref(A).

Пример:

4 способ:

Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать на Mathcad блок given в сочетании с функцией Find.

Внимание, важные правила!

1. В блоке given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.

2. Система уравнений и/или неравенств должна быть записана после или правее слова given.

3. При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl+=

4. Перед словом given необходимо указывать начальные приближения для всех переменных.

5. Блок given не пригоден для поиска индексированных переменных.

6. Если мы хотим найти комплексный корень, следует задавать комплексное начальное приближение.

7. Признаком окончания системы служит функция Find, если мы хотим найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и мы хотим найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.

8. Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок given. Если окажется, что блок содержит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или повторяющимися выражениями.

9. В том случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в красной рамке Did not find solution – решение не найдено.

Пример: Система линейных уравнений.

Решим линейную систему одним и другим методом.

Решим ту же самую систему матричным методом.

Запишем матрицу системы и вектор свободных членов.

Решим систему, умножая слева столбец свободных членов b на матрицу

обратную матрице a.

Зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.

Если необходимо найти решение при различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую функцию

Обратите внимание! В этом случае не нужно задавать начальные приближения перед началом блока given – Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f(x,y)

Подобным же образом можно решать системы, зависящие от параметра.

Дата добавления: 2014-01-06