Решение оптимизационных задач с ограничениями

Решение оптимизационных задач без ограничений

Лекция № 4

Символическое решение систем уравнений

Во многих случаях решение системы уравнений может быть найдено не только численно, но и аналитически. Для этого так же используется блок given и функция Find, но вместо знака равенства после функции следует поставить знак символического преобразования –> (Ctrl+.).

Решение записано в виде матрицы. Каждый столбец соответствует паре (x,y), т. е. найдены решения (1,3) и (3,1).

Тема: «Решение оптимизационных задач в пакете MATHCAD»

В ряде задач проектирования конструкций существует необходимость определить значения параметров, которые доставляют максимум или минимум некоторому функционалу (или целевой функции), зависящему от этих параметров. Если на значения этих параметров не заданы какие-либо ограничения (например, требование положительности), то приходим к задаче безусловной оптимизации (или оптимизации без ограничений). Если заданы ограничения, определяющие допустимые значения параметров, то приходим к задаче условной оптимизации (оптимизации с ограничениями). Вторая задача отличается от первой тем, что решение ищется только среди допустимых значений или, иначе, на допустимом множестве параметров.

Для этого используются две функции MathCAD:

· Maximize (f,<список параметров>) – вычисление точки максимума;

· Minimize (f,<список параметров>) – вычисление точки минимума, где f – имя минимизируемого функционала, определенного до обращения к функции; <список параметров> – содержит перечисление (через запятую) имен параметров, относительно которых решается оптимизационная задача.

Внимание! Перед обращением к функциям Maximize, Minimize (имена которых начинаются прописными буквами) обязательно задать начальное значение параметров оптимизации.

Пример 1. Дан функционал:

. (1)

Определить значения x, y, z, при которых g(x, y, z) достигает минимального значения.

Документ MathCAD, решающий эту задачу, приведен на рис. 1. ¨

Рис. 1. Пример минимизации функционала (1)

Пример 2. Дан функционал:

. (2)

Определить значения u, v, при которых f(u,v) достигает максимального значения.

Документ MathCAD, решающий эту задачу приведен на рис. 2. В последних строках документа выполнена проверка найденного решения на максимум.

Рис. 2. Максимизация функционала (2)

Задача нецелочисленной оптимизации состоит в том, чтобы подобрать такие значения аргументов целевой функции, при которых данная функция принимает экстремальное (минимальное или максимальное) значение и соблюдается заданная система ограничений на значения аргументов. В математической форме задача может быть сформулирована следующим образом:

где f - целевая функция; n - количество аргументов целевой функции; g_i, h_i - элементы системы ограничений (равенств или неравенств различного вида); k - количество ограничений.

В системе MathCAD такие задачи решаются с помощью блоков Given-Maximize и Given-Minimize. Так же, как и при решении систем уравнений, решающий блок состоит из нескольких компонент, следующих на листе (рис. 14) в строго определенном порядке:

1. Присваивание начальных значений переменным, относительно которых решается задача оптимизации.

2. Определение целевой функции.

3. Директива Given.

4. Ограничения, записываемые в обычной математической форме. Могут использоваться все указанные выше знаки отношений, но вместо простого знака равенства «=» используется оператор логического равенства (вводится путем нажатия Ctrl -=). Замечание: система MathCAD при минимизации и максимизации воспринимает знаки строгого неравенства (<, >) как знаки нестрогого неравенства.

5. Обращение к одной из функций Minimize или Maximize для соответственно минимизации или максимизации. Первым аргументом всегда является имя целевой функции. Далее следуют имена переменных, относительно которых решается задача. Функция возвращает вектор значений, где первый элемент соответствует первой переменной в списке аргументов, второй элемент - второй переменной и так далее.

Пример 1. Дан функционал:

(1)

и ограничения в виде

(2)

Определить значения a, b, доставляющие максимальное значение функционала (1) и удовлетворяющие неравенствам (2).

Документ MathCAD, решающий эту задачу, показан на рис. 1. Точка «старта» алгоритма берется из допустимой области, определяемой ограничениями (2).

Рис. 1. Условная максимизация функционала (1)

Замечание 1. В оптимизационных задачах с ограничениями решение целесообразно определять из необходимых условий экстремума. Эти условия порождают систему уравнений (чаще всего нелинейных), которые располагаются в блоке Given, вместе с ограничениями, определяющими допустимую область. Само решение ищется с помощью функций Find, Minerr.

Пример 2. В качестве тестового функционала при поиске точки минимума часто используется функционал Розенброка:

. (3)

«Поверхность» этого функционала напоминает глубокий овраг, что сильно осложняет работу многих алгоритмов минимизации. Требуется вычислить точку минимума функционала при ограничениях:

. (4)

Документ MathCAD решения этой задачи показан на рис. 2.

Рис. 2. Минимизация функции Розенброка

Пример 3 (з адача линейного программирования). Цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех типов и не менее 20 штук изделий каждого типа. На изделия уходит 4, 3.4 и 2 кг металла соответственно, при его общем запасе 340 кг, а также расходуются по 4.75, 11 и 2 кг пластмассы, при ее общем запасе 400 кг. Прибыль, полученная от каждого изделия равна 4, 3 и 2 р. Определить сколько изделий каждого типа необходимо выпустить для получения максимальной прибыли в рамках установленных запасов металла и пластмассы.

Документ MathCad, решающий эту задачу приведен на рис. 3.

Рис. 3. Решение задачи линейного программирования

Дата добавления: 2014-01-06