Метод Ньютона (касательных). Прежде, чем использовать метод Ньютона, необходимо найти промежутки локализации корней, то есть такие промежутки

Прежде, чем использовать метод Ньютона, необходимо найти промежутки локализации корней, то есть такие промежутки, где есть только один корень.

Обозначим найденный промежуток локализации [a;b], на этом промежутке должны выполняться два условия:

- Функция y(x) непрерывна на [a;b]

- y(a)*y(b)<0, т.е. функция имеет разные знаки на концах промежутка.

Метод Ньютона является итерационным методом. В любом итерационном методе выбирается начальное приближение к корню , затем определяется x₁®x₂®…®x_i®x_i+1, причем .

Процедура прекращается при условии x_i+1 – x_i │≤ ε, где ε - точность вычисления корня, некое малое число. В наших лабораторных работах выберем e=0,0005.

Начальное значение определяется по правилу:

Пусть, например, =b

Рис. 10

На рис.10 показан график функции y(x) на промежутке локализации [a;b]. Нас интересует точка пересечения графика функции с осью OX.

Шаг 1. Для нахождения точки x₁проведем касательную к y(x) в точке (,y()). x₁ – точка пересечения касательной с осью OX.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK.

Сторона , , сторона

Тогда

Шаг 2. Необходимо сравнить и x₁. Если, то будем считать, что корень найден и равен x₁, если , то необходимо провести касательную к y(x) в точке (x₁,y(x₁)) и вычислить .

. Шаг i. Вычислять x_i+1по формуле:

До тех пор, пока станет меньше e.

Дата добавления: 2014-01-06