Метод выравнивания (линеаризация данных)

Подбор эмпирических формул.

Линейная аппроксимация

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для определения коэффициентов линейной функции:

.

Уравнения (6) в данном случае будут иметь простой вид

или. (7)

Разделив все слагаемые в уравнениях (7) на n получим

, (8)

где введены следующие обозначения

,,,. (**)

Решая систему уравнений (**) найдем формулы для коэффициентов а и b линейного уравнения:

, (9)

. (10)

Таким образом, для определения параметров линейной регрессии a и b достаточно вычислить необходимые средние величины (7) и воспользоваться формулами (9) и (10).

Процесс построения эмпирической формулы для установленной из опыта функциональной зависимости распадается на два этапа: сначала выбирается вид формулы и уже после этого определяются численные значения параметров, для которых приближение оказывается наилучшим (в некотором смысле).

Если в ходе эксперимента исследовалась зависимость, характер которой известен, то вид эмпирической формулы может быть определен из теоретических соображений. Так, например, при исследовании зависимости силы тока на каком-либо участке электрической цепи, содержащем только линейные элементы (например, резисторы) от напряжения на этом участке вполне естественно ожидать, что зависимость будет иметь линейный характер, что просто следует из закона Ома для участка цепи.

Иначе обстоит дело, если характер исследуемой зависимости неизвестен, и никаких теоретических соображений по этому поводу сделать нельзя. В таких случаях поступают следующим образом. По экспериментальным данным строится точечный график. Затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. Полученная таким образом кривая сравнивается с графиками простых по виду аналитических функций и на основе такого сравнения делается выбор эмпирической формулы.

Наиболее часто используют следующие функции:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Поскольку сходство графиков, определяемое грубо “на глаз”, может оказаться обманчивым (особенно при неудачно выбранном масштабе), следует, выбрав какую либо формулу, прежде чем определять значения параметров, проверить возможность ее применения по методу выравнивания.

Для описания метода выравнивания рассмотрим пример. На рис.1(а) представлен точечный график, построенный по экспериментальным данным. Из вида графика можно предположить, что зависимость носит экспоненциальный характер:.

Прологарифмируем правую и левую части этого уравнения:. (*)

Нетрудно заметить, что величины и x оказываются связаны линейной зависимостью.

Если экспериментальные данные, т.е. пары точек действительно связаны экспоненциальной зависимостью, то согласно (*), график зависимости от должен быть близок к линейному (рис. 1б). Если это так, то выбор эмпирической формулы сделан правильно.

Таким образом, метод выравнивания заключается в следующем: предполагая, что между x и y существует зависимость определенного вида, находят некоторые величины и, которые при сделанном предположении оказываются связаны линейной зависимостью. Затем для заданных значений и вычисляют соответственные значения и и изображают их графически. Из графика легко увидеть, близка ли зависимость между и к линейной и, следовательно, подходит ли выбранная формула или нет.

Рис. 1. а) экспериментальные данные, б) линеаризованные данные.

а)

б)

Преобразования, которые сводят нелинейную зависимость к линейной называются линеаризующими преобразованиями.

В рассмотренном выше примере, преобразования, линеаризующие (выравнивающие) экспоненциальную зависимость имеют вид:,.

В тех случаях, когда нелинейную зависимость удается свести к линейной методом выравнивания, формулы (9) и (10) могут быть использованы для нахождения параметров линеаризованной зависимости с последующим определением неизвестных параметров исходной нелинейной зависимости. Так, например, выравнивая экспоненциальную зависимость, получаем уравнение

,

где,,.. По формулам (9) и (10) находим коэффициенты и. С учетом введенных обозначений параметр a экспоненциальной зависимости определяется как.

Ниже в таблице приведены линеаризующие преобразования для некоторых элементарных функций.

Таблица 1

Функция			a	b
	x
		y
	x
		y
		y

Дата добавления: 2014-01-06