Частот значений случайной величины (построение гистограмм)

Функции MathCAD вычисления

Введём некоторые определения.

Предположим, что дана выборка случайной величины Х (– объём выборки). Введём L+1 точку, при этом:

. (1)

Тогда число значений, попавших в интервал обозначим через и назовём частотой.

Очевидно, что

. (2)

Величину

(3)

назовём относительной частотой, для которой выполняется условие

. (4)

В качестве оценки плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины Х используют гистограмму относительных частот, т.е. систему прямоугольников, k -й из которых основанием имеет а высота определяется по формуле

(5)

и имеет место приближенное тождество

(6)

где некоторое число из интервала. Поэтому при больших объёмах выборки и удачном выборе длин интервалов гистограмма является ступенчатой аппроксимацией плотности распределения.

Возникает вопрос: как сформировать интервалы? Количество интервалов L рекомендуется вычислять по формуле где – целая часть числа. Обычно интервалы берут равной длины, и тогда узлы определяются выражением:

(7)

где

. (8)

Значения w_k, вычисляются по частотам. Поэтому для определения по выборке в MathCAD включены две функции: hist(int,X), histogram(int,X).

Параметры функции hist(int,X):

int – массив длины (L +1), составленный из значений Если параметр int задать целым числом, равным числу интервалов L, то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов по формулам (7), (8);

X – массив длиной N, составленный из значений выборки.

Результатом работы функции является одномерный массив

Параметры функцииhistogram(int,X):

int – массив длины (L+ 1), составленный из значений Если int задать целым числом, равным числу интервалов L, то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов по формулам (7), (8);

Х – массив длиной N, составленный из значений выборки.

Результатом работы функций является матрица размером, первый столбец содержит значения (середины отрезков а второй столбец – значения.

На наш взгляд, более предпочтительной является функция histogram, так как значения более удобны для дальнейшего графического отображения вычисленных величин

Пример 3. Построить гистограммы относительных частот по выборкам случайных величин определенных в примере 1. Объём выборки N = 1000.

На рис. 2 показано построение гистограммы для случайной величины а на рис.3 – для случайной величины с использованием функции histogram при L = 11. Середины отрезков «откладываются» по оси абсцисс, а для отображения гистограммы задаётся параметр solidbar (команда Формат контекстного меню, закладка Метки). Точками на рисунках показаны значения соответствующих плотностей распределений, вычисленных при.

Рис. 2. Гистограмма выборки с нормальным распределением

Рис. 3. Гистограмма выборки с распределением

Дата добавления: 2014-01-06