Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором r, проведенным из центра окружности. Модуль радиус-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).

Рис. 1

За время Δ t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение Δ r, равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l.

Радиус-вектор поворачивается на угол Δ φ. Угол выражают в радианах.

Скорость υ движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью.

Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени Δ t за который эта дуга пройдена:

υ = l Δ t.

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:

ω =Δ φ / Δ t.

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω = const; υ = const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиус-вектора r и угол φ, который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t ₀ = 0 угловая координата равна φ ₀, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота Δ φ радиус-вектора за время Δ t = t − t 0= t равен Δ φ = φ − φ 0. Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

φ = φ ₀+ ωt.

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t. Учитывая, что Δ φ = lR, получаем

ω = lR/ Δ t = υR

υ = ωR — формула связи между линейной и угловой скоростью.

Промежуток времени Τ, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения:

T =Δ t / N

где N — число оборотов, совершенных телом за время Δ t.

За время Δ t = Τ тело проходит путь l =2 πR. Следовательно,

υ =2 πRT

ω =2 πT.

Величина ν, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения:

ν =1 / T

T = N / Δ t.

Следовательно,

υ =2 πνR

ω =2 πν.

Дата добавления: 2014-01-06