Геометрические вероятности. Геометрические вероятности − это вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т

Геометрические вероятности − это вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

1) поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L;

2) вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.

В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством:

Р = Длина l/ Длина L.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Р = Площадь g/Площадь G.

§12. Предмет метода Монте − Карло

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игри др.). Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, дляисследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т. д.).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины.

Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:

М(Х) = а.

Практически поступают так: производят п испытаний, в результате которых получают п возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое

и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а:

Поскольку метод Монте — Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

Отыскание возможных значений случайной величины X (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».

Дата добавления: 2014-01-06